Come risolvere un limite con il polinomio di Taylor

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

In matematica il come arrivare ad una soluzione sono uguali ma l'importante è trovare quest'ultima in modo corretto. Quando ci troviamo davanti ad un limite indeterminato, non sempre è utile e semplice utilizzare le forme ed i teoremi più frequentemente usate per risolvere il suddetto limite. Proprio per questo potremo attuare il teorema in questione. Per tutti coloro ai quali potrebbe essere richiesto di calcolare i limiti con gli sviluppi di Taylor, anticipiamo sin da subito che tale tecnica richiede la piena conoscenza delle derivate. Il teorema dice che una funzione derivabile un certo numero di volte può essere approssimata con un polinomio, cioè con una funzione particolarmente semplice. Che cosa si debba intendere con “può essere approssimata” viene precisato appunto nel teorema detto Formula di Taylor.

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Il polinomio di Taylor è un metodo di risoluzione molto utile per i limiti che tendono a 0. Esso è infatti molto facile da applicare in questi casi. In pratica una qualsiasi funzione può essere associata ad un polinomio preciso. Ecco come operare in pochi passaggi: Per prima cosa è necessario calcolare la parte di funzione che ci serve nel punto critico (che chiameremo x0) sul quale stiamo lavorando, quello sarà il nostro a0. Quest'ultimo serve a capire il divario del polinomio dall'asse X.

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Una volta trovato a0, dovremo derivare la nostra funzione sulla quale stiamo lavorando e calcolarla in x0. Questo ci darà il coefficiente a1. Potremmo continuare così all'infinito volendo, ma per avere un buon polinomio di Taylor ne sono necessari almeno due o tre. Una volta trovati questi coefficienti dovremo inserirli nella formula generica del polinomio di Taylor, cioè: a1 più a2(X -x0)/1! Più a3(X - x0)/2 più... Più an (X-xn)/n!. (Il "!" indica un numero fattoriale, cioè il prodotto del numero stesso con tutti i numeri prima di lui.)

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Una volta scompattato le varie funzioni in polinomi di Taylor, sarà facile trovare la soluzione del limite iniziale, proprio perché con i polinomi si può facilmente denotare la "forza" di una certa funzione. Il polinomio di Taylor è molto usato nel caso x0=0 e, in questo caso, viene chiamato "polinomio di McLaurin". Un limite con il quale è facile vedere l'esatto funzionamento di questo metodo è SenX/X. La funzione SenX può essere scritta infatti come X-X^3/3! Più X^5/5!... È facile capire che solo "X" influenza questo limite e quindi il limite SenX/X tenderà a 1. Con questo teorema abbiamo calcolato il nostro limite ma ovviamente per avere una buona praticità con questo teorema occorre molto esercitarsi, dettociò con questa guida si potrà raggiungere il proprio scopo con semplicità e magari un pizzico di divertimento
.

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