Come risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito

Tramite: O2O 22/09/2017
Difficoltà: media
15
Introduzione

Al fine di risolvere una funzione matematica a volte è necessario risolvere uno o più limiti.
In generale i limiti possono essere di: una successione, una funzione (il caso che andremo a considerare in questa trattazione), un ultrafiltro e insiemistico.
Nello specifico tratteremo la risoluzione di un tipo specifico di limite, ossia il limite con forma indeterminata.
Le forme indeterminate in matematica sono: quando dividiamo il numero 0 per se stesso o dividiamo infinito per se stesso. Quando moltiplichiamo 0 per infinito, quando eleviamo 1 all'infinito, quando eleviamo 0 alla 0, e infine quando eleviamo infinito alla 0 quando abbiamo + infinito - infinito.
Noi vedremo come si può risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito.

25

Il limite di una funzione e la risoluzione di un limite di una forma indeterminata.

In generale:
Limite di f (x), con x che tende a x con 0, uguale a l. Significa che quando x tende a x con 0, f (x) tenderà a l.

Si può risolvere il limite di una forma indeterminata quando è sotto forma di rapporto (cioè quando dividiamo il numero 0 per se stesso e quando dividiamo infinito per se stesso), attraverso La regola di De l'Hôpital. Se la forma indeterminata non è un rapporto, si deve prima trasformare tale forma indeterminata in un rapporto. Poi possiamo ricorrere a La regola di De l'Hôpital. Che ripetiamo vale solo per i rapporti, ossia laddove possiamo rintracciare un numeratore e un denominatore.

35

Come applicare La regola di De l'Hôpital: la derivata.

La derivata di una funzione reale f (x), e un punto x con 0, è il numero f' di x con 0, uguale al limite del rapporto incrementale, con l'incremento che tende a 0.
Disegnamo su un grafico ascisse/ordinate la nostra funzione. L'incremento è il rapporto angolare tra la retta che tange la rappresentazione grafica della nostra funzione e la retta che seca la stessa rappresentazione della funzione. Le rette possono corrispondere completamente. Basta che non ci siano eccezioni di derivabilità.

Continua la lettura
45

Applicazione de La regola di De l'Hôpital per il limite della forma indeterminata del rapporto infinito-infinito.

In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo rapporto, questo è uguale al rapporto originale. Se invece il nuovo quoziente è a sua volta ad una forma indeterminata, si può calcolare la derivate seconde (cioè le derivate delle derivate prime), si verifica se il rapporto da una forma indeterminata, in questo caso si fa la derivate terze (cioè la derivate della seconde derivate) così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate non significa che non esista il limite del quoziente originale. Così abbiamo visto come calcolare il limite della forma indeterminata rapporto infinito-infinito
.

55
Consigli
Non dimenticare mai:
  • Consulta un manuale di analisi matematica (livello medio), usa l'indice dei nomi per trovare definizioni delle nozioni che ti sfuggono e quelle che non conosci.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:
Potrebbe interessarti anche
Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come trovare il limite di una funzione trigonometrica

Anche se l'analisi matematica potrebbe sembrare un argomento molto complesso, i suoi teoremi, le sue formule ed i suoi esercizi sono esplicativi e dimostrativi dell'applicazione di teorie. Pertanto, entrando nell'ottica di questa affascinante materia...
Superiori

Come determinare l'esistenza del limite di una funzione

Il limite di una funzione rappresenta un concetto comprensibile se si conoscono i basilari concetti topologici. In questa guida vi spiego nel modo più semplice possibile come determinare l'esistenza del limite di una funzione. Come già saprete, il limite...
Superiori

Come calcolare il limite di una funzione

Con la seguente guida vi illustrerò come calcolare i limiti di funzioni usando limiti notevoli e teorema di De Hopital. Se vale che: f (x) e g (x) sono derivabili in un intorno di x0 (escluso il punto x0); g'(x) ≠0 nell'intorno in x0; limite di x tendente...
Superiori

Come risolvere un integrale improprio

In questa guida cercheremo di spiegare come risolvere gli integrali impropri, detti anche integrali generalizzati. Si tratta di una tipologia di integrali molto frequenti in alcuni contesti matematici, come ad esempio in statistica, ma non solo. Per...
Superiori

Come calcolare la somma di una serie numerica

Il concetto di serie numerica generalizza, in matematica, l'idea intuitiva di "somma di infiniti addendi". In questa guida vedremo la definizione di serie, che formalizza in maniera rigorosa le idee precedenti, alcuni criteri che permettono di stabilire...
Superiori

Come calcolare l'asintoto obliquo nelle funzioni

In matematica ci sono alcuni concetti che possono essere fonte di incomprensione se non vengono affrontati sin dall'inizio in maniera appropriata. Uno di questi è rappresentato dalle funzioni, di cui si devono per esempio studiare domini, limiti e asintoti....
Superiori

Come calcolare l'angolo limite

In questa guida vi spiegherò come calcolare l'angolo limite, spero che sarò il più chiaro possibile, per far si che il vostro risultato sia eccellente. Sono un geometra, è stata sempre una mia passione, fin da piccolo. Oggi condividerò con voi ciò...
Superiori

Come tradurre le proposizioni infinitive in latino

Nella lingua latina, l'infinito viene usato come forma verbale oltre ad essere riconosciuto come soggetto o oggetto di un'intera proporzione, che, a seconda della funzione grammaticale che occupa, viene denominata "soggettiva" o "oggettiva". Tuttavia,...