Come risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Al fine di risolvere una funzione matematica a volte è necessario risolvere uno o più limiti.
In generale i limiti possono essere di: una successione, una funzione (il caso che andremo a considerare in questa trattazione), un ultrafiltro e insiemistico.
Nello specifico tratteremo la risoluzione di un tipo specifico di limite, ossia il limite con forma indeterminata.
Le forme indeterminate in matematica sono: quando dividiamo il numero 0 per se stesso o dividiamo infinito per se stesso. Quando moltiplichiamo 0 per infinito, quando eleviamo 1 all'infinito, quando eleviamo 0 alla 0, e infine quando eleviamo infinito alla 0 quando abbiamo + infinito - infinito.
Noi vedremo come si può risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito.

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Il limite di una funzione e la risoluzione di un limite di una forma indeterminata.

In generale:
Limite di f (x), con x che tende a x con 0, uguale a l. Significa che quando x tende a x con 0, f (x) tenderà a l.

Si può risolvere il limite di una forma indeterminata quando è sotto forma di rapporto (cioè quando dividiamo il numero 0 per se stesso e quando dividiamo infinito per se stesso), attraverso La regola di De l'Hôpital. Se la forma indeterminata non è un rapporto, si deve prima trasformare tale forma indeterminata in un rapporto. Poi possiamo ricorrere a La regola di De l'Hôpital. Che ripetiamo vale solo per i rapporti, ossia laddove possiamo rintracciare un numeratore e un denominatore.

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Come applicare La regola di De l'Hôpital: la derivata.

La derivata di una funzione reale f (x), e un punto x con 0, è il numero f' di x con 0, uguale al limite del rapporto incrementale, con l'incremento che tende a 0.
Disegnamo su un grafico ascisse/ordinate la nostra funzione. L'incremento è il rapporto angolare tra la retta che tange la rappresentazione grafica della nostra funzione e la retta che seca la stessa rappresentazione della funzione. Le rette possono corrispondere completamente. Basta che non ci siano eccezioni di derivabilità.

Continua la lettura
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Applicazione de La regola di De l'Hôpital per il limite della forma indeterminata del rapporto infinito-infinito.

In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo rapporto, questo è uguale al rapporto originale. Se invece il nuovo quoziente è a sua volta ad una forma indeterminata, si può calcolare la derivate seconde (cioè le derivate delle derivate prime), si verifica se il rapporto da una forma indeterminata, in questo caso si fa la derivate terze (cioè la derivate della seconde derivate) così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate non significa che non esista il limite del quoziente originale. Così abbiamo visto come calcolare il limite della forma indeterminata rapporto infinito-infinito
.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consulta un manuale di analisi matematica (livello medio), usa l'indice dei nomi per trovare definizioni delle nozioni che ti sfuggono e quelle che non conosci.

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