Come risolvere un integrale triplo

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia affascinante ma anche molto complessa da imparare, infatti sono molte le persone che riescono, con molte difficoltà, ad impararla in breve tempo. Molti ragazzi che vanno a scuola hanno problemi con la matematica, ma una volta che ci si riesce a comprenderla e capire come studiarla si aprirà un mondo e risolvere i problemi di matematica risulterà addirittura divertente. Basterà fare poi pratica per riuscire a risolvere gli integrali tripli in men che non si dica. In questa guida analizzeremo e impareremo a risolvere un integrale triplo. In particolare analizzeremo gli integrali tripli per mezzo di integrazioni successive.

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Prime operazioni

Consideriamo la funzione f (x, y, z), definita e continua in tutti i punti della superficie S e nei suoi punti interni. Fissato il punto P, nel dominio H, la funzione f (x, y, z) diventa funzione della sola variabile z che varia tra i punti Q di quota z1 e R di quota z2 ed esiste l'integrale definito tra z1 e z2, che dipende dai parametri x e y, cioè si ha l'integrale espresso nella figura allegata affianco nella prima formula, dove g (x, y) è una funzione definita e continua nel dominio H.

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Svolgimento

Per tale motivo esiste in H l'integrale doppio del tipo riportato nella seconda formula nell'immagine affianco. Supponendo che il dominio H è normale rispetto all'asse y risolviamo il precedente integrale. Sia allora "l" la frontiera del dominio H e scomponiamo tale frontiera in due curve di equazione: y=Ψ1 (x) e y= Ψ2(x). L'integrale è dato dalla terza formula dell'immagine. Sostituendo la prima formula vista nella terza formula, si ha l'espressione corrispondente alla quarta formula nella figura. Ma solitamente l'integrale triplo si indica come viene espresso nella formula alla fine dell'immagine allegata.

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Suggerimenti

Il problema principale, che uno studente si pone quando si trova davanti ad un integrale triplo, è proprio quello di riuscire a definire gli estremi di integrazione, partendo per lo più da insiemi di definizione non sempre molto intuitivi. Solitamente, cambiando opportunamente le variabili, è possibile arrivare ad un nuovo dominio di integrazione più comprensibile di quello di partenza, senza necessariamente passare alla rappresentazione grafica che può essere più difficile da definire. Comunque, usualmente, negli integrali tripli entrano in gioco le quadriche, come piani, iperboloidi, paraboloidi, sfere, coni o cilindri. Quindi basterebbe imparare a riconoscere le formule quadriche, dette prima, per poter risolvere più agevolmente gli integrali tripli.

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