Come risolvere un integrale improprio

In questa guida cercheremo di spiegare come risolvere gli integrali impropri, detti anche integrali generalizzati. Si tratta di una tipologia di integrali molto frequenti in alcuni contesti matematici, come ad esempio in statistica, ma non solo. Per capire come risolvere un integrale improprio è necessario innanzitutto avere ben chiaro cosa s'intende per integrale. In matematica data una funzione f (x) e un intervallo A-B sull'asse x, potete immaginare che l'integrale sia l'area della ragione di piano sottesa dal grafico della funzione, all'interno dell'intervallo a-b, L'integrale definito della funzione di f (x) integrata in Dx ci fornisce l'area con segno della regione di piano compresa tra il grafico di f (x), l'asse di x e le rette verticali x=a x=b. Si dice area con segno, perché se il grafico di f (x) fosse negativa nell'intervallo considerato, il risultato dell'integrale deve essere cambiato di segno. Ora che abbiamo ricordato la definizione di integrale possiamo passare agli integrali impropri.

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• Regole sui limiti

Le due caratteristiche fondamentali degli integrali propri sono il fatto che la zona di integrazione è limitata ed è anche limitata all'interno di questa zona di integrazione da funzione integranda. L'integrale viene dunque calcolato in un certo intervallo A-B, in cui non ci sono punti in corrispondenza dei quali la funzione tende verso più o meno infinito. Quando queste proprietà non vengono verificate, allora si deve parlare di integrale improprio o generalizzato. Consideriamo il caso di un integrale improprio in cui è la funzione a non essere limitata. Supponiamo di avere la nostra f (x) definita su un certo intervallo che sia continua e che sia illimitata a sinistra di b, ovvero che tenda verso più o meno infinito. In questo caso si definisce integrale tra a e b di fx in Dx il limite per y che tende a 0+ dell'integrale tra a e b - y della funzione f (x) in D (x), L'idea è molto semplice si integra tra a e b meno y e poi si fa tendere y a 0+, il che equivale a far tendere il nostro estremo superiore b- y al punto b avvicinandosi da sinistra. Nell'ipotesi in cui la funzione sia continua all'interno dell'intervallo l'integrale tra a e b - y sarà un integrale proprio e non improprio. Se la nostra funzione, invece, fosse illimitata sull'estremo sinistro di integrazione, la definizione che si dà è analoga al caso precedente, Se il limite esiste ed è finito si dice che la funzione è integrabile nell'intervallo a-b, oppure che l'integrale tra a-b di f (x) in dx converge. Se invece il risultato e più o meno infinito l'integrale improprio diverge a più infinito o meno infinito. Se non esiste, infine, si dice che l'integrale improprio non esiste o che è indeterminato.

Supponiamo che ci venga richiesto di calcolare l'integrale tra 0 e 4 di 1 su due radice di x in dx. Se guardiamo la funzione integranda noteremo che si tratta di una funzione che è illimitata a destra di 0, se infatti andiamo a calcolare il limite per x che tende a 0+ otterremo come risultato + infinito. Per risolvere l'integrale sarà sufficiente applicare la definizione sopra esposta. In questo caso dovrete risolvere il limite per y che tende a 0+ dell'integrale tra 0+y e 4 di 1 su due radice di x in d (x). Se risolviamo l'integrale proprio otteniamo come risultato la funzione radice di x calcolata tra l'estremo superiore 4 e l'estremo inferiore che è semplicemente y (y+0=y). Quindi dobbiamo calcolare il limite per y che tende a 0+ di radice di quattro meno radice di y, dato che radice di y tende a 0 se y tende a 0+ possiamo concludere che il nostro integrale da come risultato 2 e dunque converge.

Consideriamo, infine, degli integrali impropri in cui è la zona d'integrazione ad essere illimitata. Consideriamo una funzione che sia definita da un certo punto a in avanti e che sia continua. In questo caso l'integrale tra A e + infinito di f (x) in Dx è definito come il limite per M che tende a + infinito dell'integrale tra a ed M di f (x) in Dx. L'idea è simile al caso precedente, però, in questo caso si tratta di integrare dall'estremo inferiore A fino ad un certo punto e poi di far tendere M verso + infinito. Un'analoga definizione si dà nel caso in cui la zona di integrazione sia illimitata a sinistra. Anche per questo tipo di integrali si parlerà di integrale improprio divergente, convergente o indeterminato a seconda del risultato ottenuto calcolando il limite. Nel video youtube allegato potrete trovare dei grafici concreti e ulteriori esempi che vi aiuteranno a schiarire meglio le idee.

• Ripassate molto bene i limiti, indispensabili per poter calcolare gli integrali.

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