Come risolvere un integrale curvilineo

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nell'analisi matematica, uno degli argomenti forse più ostici agli studenti è quello del calcolo integrale. Sugli integrali esistono molteplici trattazioni e di essi ne esistono di diverse tipologie. Molti sono i teoremi che facilitano e permettono il loro calcolo. Oltre ai classici integrali di intervallo, che possono essere definiti o indefiniti, esistono dei particolari integrali detti "integrali curvilinei", utilissimo nell'espressione di numerose leggi della fisica, soprattutto legate al calcolo del lavoro. Vediamo insieme in questa pratica guida come risolvere un integrale curvilineo o integrale di linea.

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Occorrente

  • Libro di analisi matematica
  • Carta e penna
  • Calcolatrice
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Al contrario delle altre tipologie, in un integrale curvilineo, occorre che la funzione matematica sia integrata seguendo un particolare cammino o una particolare curva. Dei casi particolari sono rappresentati da integrali curvilinei in cui la curva di integrazione è una linea chiusa: si parla in questo caso di integrali di contorno o di frontiera. Gli integrali curvilinei si dividono a loro volta in integrali curvilinei di prima specie e di seconda specie a seconda delle loro caratteristiche. Nella statistica, gli integrali di prima specie sono molto utilizzati nel calcolo della curva di Lorentz.

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Per la risoluzione di un integrale curvilineo è importante innanzitutto scrivere l'equazione parametrizzata della curva o linea di integrazione. Partendo quindi dall'equazione della curva nel piano cartesiano (x, y) occorre scrivere l'equazione parametrica della curva r (t) funzione del parametro t in cui tale parametro varia nell'intervallo [a, b]. I punti a e b rappresentano gli estremi della retta nel piano cartesiano. Una volta ricavata tale equazione parametrica, per la risoluzione dell'integrale curvilineo sarà necessario ricavarne anche la derivata (o lo Jacobiano), si procederà quindi al calcolo di r'(t).

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A questo punto, se abbiamo chiamato F (x) la funzione da integrale, funzione della variabile x, l'integrale di intervallo sarà ottenuto usando come differenziale dx. La curva o linea di integrazione verrà chiamata L. L'integrale curvilineo risultante sarà ottenuto integrando con differenziale dt, la funzione calcolata usando l'equazione parametrica F (r (t)) e moltiplicandola per lo Jacobiano della trasformazione r'(t). Gli estremi di integrazione non saranno altro che i valori a e b che corrispondevano agli estremi della curva o linea di integrazione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fate attenzione a parametrizzare correttamente la curva
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