Come risolvere un'equazione quadratica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un'equazione quadratica fa parte della famiglia di quelle di secondo grado, in essa è presente un'incognita, generalmente indicata con la lettera x, elevata alla seconda. La formula canonica è questa ax^2+bx+c=0 dove a, b e c sono i coefficienti dell'equazione e possono rappresentare valori numerici qualsiasi. Tutti compreso anche lo zero, ma in questo caso il valore del coefficiente a dovrà essere necessariamente diverso dallo zero poiché, se invece fosse così, l'equazione perderebbe l'incognita più alta in grado e diventerebbe un'equazione lineare. Naturalmente b e c possono essere uguali a zero, se tutti e tre i coefficienti saranno diversi da zero ci sarà un'equazione completa, negli altri casi impostando a diverso da 0 si avranno equazioni incomplete e in particolare se solo c=0 l'equazione sarà spuria mentre se b=0 sarà pura, mentre se tutti e due sono uguali a zero l'equazione sarà chiamata monomia. Si vedrà, quindi, come risolvere tutti i tipi di equazione e trovare le soluzioni reali (chiamate anche radici o zeri dell'equazione). Nella guida con "sqrt" verrà indicata l'operazione di radice quadrata mentre con "^" l'elevamento a potenza seguito dal numero del relativo esponente.

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Occorrente

  • Norme basilari dell'algebra.
  • Conoscenza operazioni di base ed insiemi numerici.
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L'equazione spuria

Il primo caso da analizzare è l'equazione spuria di tipo ax^2+bx=0, in essa il coefficiente c vale zero quindi nella formula è possibile ometterlo. Questa tipologia ha due soluzioni e si calcolano in questo modo: si raccoglie l'incognita x in modo da avere un'equazione del tipo x (ax+b)=0, quindi un valore di x è 0 poiché sostituendolo alla x si verifica l'identità, mentre per l'altra soluzione bisogna fare in modo che ax+b sia uguale a zero, quindi si otterrà che x è uguale ad -(b/a).

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L'equazione pura

Il secondo caso, invece, è l'equazione pura che non sempre ha soluzioni reali. Tale equazione si presenta in questo modo: ax^2+c=0 dove b=0. In questo caso l'equazione presenta due soluzioni che hanno lo stesso coefficiente ma segno opposto: ax^2=-c quindi x^2=-(c/a) e poi x=sqrt (-(c/a)) se c è negativo ci sarà una soluzione poiché passando al secondo membro diventa positivo ed è possibile trovare la radice quadra mentre se è positivo al secondo membro diventerà negativo e non si troveranno soluzioni reali (ma soluzioni appartenenti all'insieme C, cioè quello dei numeri immaginari e complessi).

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La monomia del tipo ax^2=0

Terzo ed ultimo caso la monomia del tipo ax^2=0. Le due soluzioni, corrispondono a 0, qualunque sia il valore di a. Per quanto riguarda l'equazione completa con tutti i coefficienti diversi da zero si può risolvere con la seguente formula: x1,2= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/(2a). Una formula apparentemente strana che viene dimostrata nell'immagine.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Studiare e perseverare, anche in caso di insuccesso.

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