Come risolvere un'equazione logaritmica fratta

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa breve guida vedremo passo dopo passo qual è l'approccio di risoluzione alle equazioni logaritmiche, ed in particolar modo alle equazioni logaritmiche fratte. Ricordiamo che, durante la risoluzione dei vostri esercizi, specialmente se siete agli inizi, dedicate il giusto tempo ad ogni singolo passaggio per non incappare in errori di calcolo o concettuali. Ecco come risolvere un'equazione logaritmica fratta.

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Un'equazione logaritmica fratta

I primo passo che dovremo seguire per risolvere un'equazione logaritmica fratta, è quello di calcolare i campi d'esistenza dei logaritmi che costituiscono l'equazione. Il campo di esistenza totale sarà dato dalle soluzioni che hanno in comuni i due, o più, logaritmi che costituiscono la nostra equazione. Le equazioni logaritmiche fratte (o razionali), sono quelle equazioni che sono dotate di un numeratore N (x) e di un denominatore D (x), entrambi contenenti una funzione logaritmica.

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L'equazione

Per semplificare la comprensione dell'argomento trattato, risolviamo passo passo una semplice equazione logaritmica fratta. L'equazione in questione è la seguente:

Log (7-6x) / Log (x) = 2

Calcolo del campo di esistenza:
a) 7-6x > 0 --> x < 7/6
b) x > 0
c) Log (x) diverso da 0 --> x diverso da 1
d) il campo di esistenza totale sarà: 0

Procediamo con la risoluzione:

Log (7-6x) / Log (x) = 2 --> Log (7-6x) = 2 * Log (x) = Log (x^2)

Eliminiamo a destra e a sinistra il logaritmo e otteniamo:

7-6x = x^2 --> x^2 + 6x - 7 = 0

A questo punto risolviamo l'equazione di secondo grado:

x= (- 6 +/- sqr (36 + 28)) / 2

Le due soluzione saranno x1 = -7 e x2 = 1, entrambi non accettabili, perché al di fuori del campo di esistenza calcolato inizialmente.
Ovviamente quello visto insieme è un esempio specifico, ma più in generale, per risolvere una qualsiasi equazione logaritmica fratta è necessario rispettare i seguenti passi:
1) Calcolare campo di esistenza della funzione;
2) Se necessari, effettuare i cambiamenti di base;
3) Portare l'equazione in forma log (a) = log (b), eliminare le funzioni logaritmiche e risolve l'equazione a=b generica.

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La formula di riferimento

Spesso, può capitare che la nostra equazione logaritmica fratta sia costituita da due logaritmi con basi differenti. In quel caso, è necessario scegliere la base con la quale lavorare ed operare il cambiamento di base. La formula di riferimento è riportata nell'immagine. Dove:
- 'b' è la base di partenza che vogliamo cambiare;
- 'x' è l'argomento del logaritmo;- 'a' è la nuova base del logaritmo.
Operando questa sostituzione sarà possibile procedere con la risoluzione dell'equazione. Possiamo quindi procedere.

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