Come risolvere un'equazione differenziale di primo ordine lineare

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Se ci troviamo di fronte a un'equazione differenziale di primo ordine lineare potremmo non avere idea di come proseguire. In realtà risolvere questo tipo di equazione non è così difficile, a patto di aver capito esattamente di cosa si tratta. In realtà, infatti, basta sapere come procedere e diventerà tutto molto più fattibile.

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Occorrente

  • Pregresse conoscenze sulle derivate e sugli integrali
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La prima cosa da capire è cosa significa esattamente equazione differenziale e da cosa è composta. Innanzitutto vediamo la formula base: y'(x)+a (x) y (x)=f (x). Ciò significa che il primo elemento è la derivata della funzione y (x) del secondo elemento. La funzione y (x) è quindi l'incognita da determinare. Esaminiamo gli elementi del nome. Si dice di primo grado perché si considera l'ordine massimo di derivazione dell'equazione, in questo caso 1. Quindi l'equazione è di primo ordine. È invece lineare perché l'esponente della derivata y e di y stessa è sempre pari a 1.

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Osserviamo alcune cose. Se a (x)=0 allora la funzione rimane solo y'(x)=f (x). In questo caso abbiamo una funzione differenziale elementare. Se invece f (x)=0 allora la funzione diventa y'(x)+a (x) y (x)=0. Si tratta quindi di una funzione omogenea ed è risolvibile con il metodo delle variabili. Questi due tipi di funzione differenziale si distinguono dalla formula standard. Per questo motivo hanno anche metodi differenti di risoluzione, che non verranno trattati in questa sede.

Continua la lettura
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Esistono due modi per risolvere un'equazione differenziale di primo ordine lineare. Noi ne vedremo uno solo, quello più semplice e veloce: il metodo del fattore integrante. La prima cosa da fare è calcolare una primitiva di a (x), ovvero una funzione A (x) tale che A'(x)=a (x). Dopo di che si eleva ogni elemento dell'equazione differenziale per e^A (x). In questo modo si ottiene questa equazione: y'(x) e^A (x)+[a (x) e^A (x)]y (x)=f (x) e^A (x). Si può notare che la parte a sinistra dell'equazione è la derivata di y (x) e^A (x). Ovvero: y'(x) e^A (x)+[a (x) e^A (x)]y (x)=[y (x) e^A (x)]'. Ora si possono quindi integrare entrambi i membri per la variabile x ottenendo questa equazione: y (x) e^A (x)=∫g (x) e^A (x)dx+c. Si aggiunge il "+c" perché abbiamo fatto un integrale indefinito.

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Ormai siamo quasi arrivati a risolvere la nostra equazione differenziale di primo ordine lineare. Non dobbiamo fare altro che liberare y (x). Per fare questo basta semplicemente moltiplicare a destra e a sinistra per e^-A (x), così che a sinistra resti solo y (x). Ecco come appare ora la nostra equazione: y (x)=e^-A (x) ∫g (x) e^A (x) dx+c^-A (x). Abbiamo quindi ottenuto la soluzione generale dell'equazione differenziale di primo ordine lineare. Non è una soluzione vera e propria, ma una famiglia parametrizzata di soluzioni, ovvero ci sono infinite soluzioni al variare del parametro "c".

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Facciamo un esempio. Prendiamo l'equazione differenziale y'(x)-Xy (x)=2X, dove X=a (x) e 2X=f (x). Una primitiva di X è -(X^2)/2. Non occorre avere tutte le primitive, che quindi avrebbero anche l'incognita "+c", ma basta una primitiva qualsiasi. Moltiplichiamo quindi entrambi i membri per e^-(X^2)/2. Otteniamo quindi y'(x) e^-(X^2)/2-Xe^-(X^2)/2y (x)=2Xe^-(X^2)/2. Ovvero [y (x) e^-(X^2)/2]'=2Xe^-(X^2)/2. A questo punto si integra a destra e a sinistra, ottenendo y (x) e^-(X^2)/2=∫g (x) e^-(X^2)/2dx+c. Calcoliamo la derivata della parte di destra e otteniamo: y (x) e^-(X^2)/2=-2e^-(X^2)/2+c. Moltiplichiamo quindi per e^-A (x), ovvero per e^(X^2)/2. Dopo le semplificazioni avremo che la soluzione generale della nostra equazione differenziale di primo ordine lineare è: y (x)=-2e^-(X^2)/2+ce^(X^2)/2.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordiamo che il simbolo "^" significa elevato
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