Come risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Vediamo insieme come risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili: si trovano in alcune discipline. Di solito riguardano l'ingegneria è un concetto di equazione differenziale si presenta in vari contesti teorici e applicativi è fondamentale per elaborare modelli di tipo continuo, si tratta di equazioni la cui incognita è la funzione di una variabile, la troviamo all'interno dell'equazione insieme ad alcune derivanti fino ad un certo ordine massimo delle derivate.

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Occorrente

  • Calcolatrice (facoltativo)
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Cercherò con degli esempi di spiegare al meglio: y (t) massa di uranio al tempo "t" trascorso del tempo lo chiamiamo <>t, un po di uranio sarà decaduto e la indichiamo questa quantità con dy (t) con >0, ipotizziamo che decada in modo proporzionale. Ora porgiamoci una domanda, che massa avrà al tempo t + <> t ?, per rispondere a questa domanda dobbiamo calcolare: y (t + <> t) e risulterà uguale alla massa di uranio al tempo t meno la massa decaduta dopo il trascorrere del tempo <> t.

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I concetti preliminari per le equazioni differenziali, teniamo bene in mente questi concetti che intervengono in modo massiccio nell'esposizione: "Funzione, derivata e integrale". Proseguiamo con la spiegazione: Indichiamo con la y la variabile dipendente o detta anche (funzione icognita) che indicheremo con la t, variabile indipendente, molti indicano la variabile indipendente con)(, come altre volte la possiamo trovare con z o w, ma questo non cambia nulla è solo un modo diverso per indicarle. Generalmente le indichiamo - con: S: A --> R una funzione da un insieme A C aperto a valori in R: - con C (A) dove n E N, la classe di definizioni definite su A, continue e derivanti n volte con derivate continue fino all'ordine n. Se è una funzione derivabile n di volte, la indicheremo con f, oppure d f, la derivata prima di f con f'', la derivata seconda di f con f (3) (fratto) d)(, la derivata terza di f è in generale con f (n), la derivata n-esima di f.

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Vediamo i simboli: y (t + <> t) = y (t) - dy (t) <>t, da cui: - dy (t) = y (t +<>t) - y (t) al tendere di avremo <>t a 0 avremo: y' (t) = - dy (t). (fratto) <> t Vediamo un'altro esempio di applicazione delle equazioni differenziali. Ora consideriamo la legge di Hook esempio: F 0 - Hy (t) dove la K è una costante elastica e y (t) è la posizione dove si trova la massa M, per la seconda legge di Newton risulta: F = y''(t), di conseguenza abbiamo: - Ky (t) = My'' (t), vale a dire: y'' (t) = - K (fratto) M y (t). Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine. Le equazioni si differenziali sono equazioni a cui l'incognita è una funzione e i termini sono le derivate della funzione stessa, e ovvio che la funzione sia derivabile un numero di volte sufficienti, ora che ho dato un'idea di cosa sono e cosa servono in concreto le equazioni differenziali, passiamo ai concetti preliminari che servono per poterli studiare.

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