Come risolvere un'equazione con i numeri complessi

Un numero complesso non è altro che un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria. Per parte reale si intende un numero facente parte dell'insieme dei numeri reali "R", mentre per parte immaginaria si indica un multiplo dell'unità immaginaria, dove il coefficiente dell'immaginario è il numero immaginario facente parte dell'insieme dei numeri immaginari. Un numero complesso viene definito dall'espressione a + bi. L'insieme di tali numeri costituisce l'insieme dei numeri complessi C. L'utilità dei numeri complessi è ben confermata dall'applicazione di essi in tutti i campi della matematica, nonchè in molti problemi della fisica. I numeri complessi estendono il concetto della linea numero unidimensionale al piano complesso bidimensionale, utilizzando l'asse orizzontale per la parte reale e l'asse verticale per la parte immaginaria. Il numero complesso a + bi può essere identificato con il punto nel piano complesso; inoltre presentano applicazioni pratiche in molti campi, tra cui la fisica, la chimica, la biologia, l'economia, l'ingegneria elettrica e le statistiche. Attraverso i passaggi della guida che segue ci occuperemo di spiegarvi in modo semplice, ma dettagliato di darvi tutte le informazioni necessarie su come risolvere un'equazione con i numeri complessi.

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La prima fase consiste nel comprendere per bene l'equazione, cioè sarà necessario fare in modo che risulti essere scritta in una forma che vi aiuti ad applicare al meglio gli strumenti matematici a vostra disposizione; per fare un esempio: z³ = (i - 2) ³. Z rappresenta la variabile complessa nella forma x + yi. A questo punto portate tutto a sinistra dell'equazione: z³ - (i - 2) ³ = 0; quest'equazione tratta la differenza tra due cubi, per cui potete scriverla nella forma seguente: (z − (i − 2)) · (z² + (i − 2) z + 3 − 4 i) = 0. Una volta che avrete compreso la forma dell'equazione non avrete sicuramente difficoltà nell'andare avanti.

Si può dire che l'equazione è verificata quando (z − (i − 2)) = 0 e quando (z² + (i − 2) z + 3 − 4 i) = 0. La prima soluzione è molto intuitiva, cioè: z = i - 2; la seconda, invece, è un'equazione di secondo grado. Lavorando con i numeri complessi, quello che bisognerà fare è semplicemente cercare le radici quadrate di (−9 + 12i) nella forma a + ib (a + ib) ² = −9 + 12i quindi: a² − b² + i (2 ab) = −9 + 12i da cui si deduce la parte reale a² − b² = −9 e la parte immaginaria 2 ab = 12. A questo punto avete a vostra disposizione tutti i valori necessari per poter proseguire nelle operazioni successive.

A questo punto, dunque, quello che dovete fare è mettere tutto a sistema nel modo seguente: |a² − b² = −9 |2 ab = 12; sviluppate l'equazione e otterrete: |a² − b² = −9 |b = 6 / a |a^4 + 9a² − 36 = 0 |b = 6 / a |a =√3 |a =-√3 |b =6/√3 U |b =6/-√3. Ovvero: |a =√3 |a =-√3 |b =2√3 U |b =-2√3. Sostituite adesso questi valori che avete ottenuto alle formule di Newton: z1 =2 − i + (√3 + 2√3 i) / 2 = 1+√3 / 2+ (√3 − 1/2) i; z2 =2 − i − (√3 + 2√3 i) / 2= 1−√3 / 2+(−√3 − 1/2) i. Ed ecco che potete ottenere in questo modo le tre soluzioni finali: z0 = i - 2; z1 =2 − i + (√3 + 2√3 i) / 2 = 1+√3 / 2+ (√3 − 1/2) i; z2 =2 − i − (√3 + 2√3 i) / 2= 1−√3 / 2+(−√3 − 1/2) i. Come avrete capito, il lavoro da svolgere è piuttosto lungo, ma una volta capito il meccanismo non avrete alcuna difficoltà nel portare a termine il problema. Il consiglio è sicuramente quello di eseguire un grande numero si esercizi, così da consolidare le conoscenze e avere dimestichezza nello svolgimento dei calcoli. Qualora riscontraste ancora dei dubbi o dei problemi nella risoluzione dell'equazione sarà utile rivolgervi al vostro insegnante di riferimento, così che possa spiegarvi passo per passo le diverse fasi dell'operazione.

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