Come risolvere un circuito elettrico con il teorema di Millman

Questo teorema deve il nome al suo ideatore Jacob Millman, fra l'altro autore di uno dei più importanti testi sulla materia ed è un teorema che è tecnicamente derivato da quello di Thévenin è dalle leggi di Ohm e Kirchhoff. Grazie a questo teorema è possibile andare a studiare in maniera semplificata le reti lineari. Vediamo quindi come risolvere un circuito elettrico con il teneva di Millman.

• Rete lineare con rami in parallelo

La legge di Ohm afferma che il rapporto tra la tensione impressa ai capi di un oggetto e la corrente che vi scorre viene chiamata impedenza e nel caso di corrente continua si parla di resistenza. Le leggi di Kirchhoff sulle impedenze consentono di trasformare impedenze in serie in altre in parallelo e di calcolare la caduta di tensione ai capi di un ramo, basandosi sulle affermazioni che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale a quelle delle correnti uscenti, e che la somma di tutte le tensioni presenti su una maglia deve essere nulla.

Il teorema di Thévenin afferma che è una qualsiasi rete a due porte può essere schematizzata come un generatore di tensione in serie ad un impedenza equivalente. Il procedimento è piuttosto semplice applicando le leggi di Kirchhoff e di Ohm si va a disattivare i generatori di tensione e di corrente presenti nella rete e a calcolare il valore dell'impedenza vista dai 2 nodi successivamente si pone un carico fittizio in parallelo ai 2 nodi e si determina il valore della caduta di tensione ai suoi capi. In questa maniera si riesce ad ottenere il generatore di tensione equivalente di Thèvenin e l'impedenza corrispondente. La conoscenza di questa notazione è indispensabile per poter studiare poi il teorema di Millman.

Supponiamo di avere due reti equivalenti di Thévenin ed uniamo fra loro i terminali In modo tale che le due risultino essere in parallelo. Se si va a misurare la caduta di tensione ai capi della rete si trova che essa è pari alla sommatoria dei rapporti fra i generatori di Thévenin dei singoli rami divisi ognuno per la propria impedenza di relativa, tutto fratto la sommatoria dei reciproci delle impedenze di Thévenin dei singoli rami. Il valore dell'impedenza complessiva si calcola semplicemente disattivando tutti i generatori presenti e facendo il parallelo dei singoli contributi. In sostanza per il calcolo del teorema di Millman si procede sottraendo dalla caduta Vab dei rami in parallelo il valore della tensione di Thévenin e la si si divide per l'impedenza per calcolare la corrente nel singolo ramo. Poi si sommano tutte le correnti entranti nel nodo, e si moltiplicano per l'impedenza complessiva.

• Applicate il teorema di Millman solo a reti con molti rami in parallelo perchè il calcolo può essere lungo.

• Teorema di Millman