Come risolvere tutte le forme indeterminate dei limiti

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica due funzioni f (x) e g (x), il cui comportamento risulta determinato quando la variabile reale tende a un valore finito o infinito, possono dar luogo a una forma indeterminata se entrambe tendono a infinito con segni opposti nella forma f (x)+g (x) o componendole tra esse mediante operatore di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza. Per sapere come risolvere le forme indeterminate dei limiti si utilizzano tecniche algebriche di semplificazione delle funzioni e il teorema di De L'Hopital.

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Per risolvere i limiti di forme indeterminate utilizzando l'altrettanto valido teorema di De L'Hopital occorre procedere utilizzando il metodo di derivazione. La regola impone di calcolare la derivata di numeratore e denominatore andando ad ottenere f'(x) e g'(x). Se il limite di f'(x)/g'(x) esiste allora esisterà anche il limite di f (x)/g (x) ed il suo valore sarà identico a quello ottenuto operando sul quoziente delle derivazioni. Se invece il limite di f'(x)/g'(x) tende anch'esso all'indeterminazione sarà necessario continuare nel procedimento di derivazione fino ad ottenere un limite determinabile.

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Per risolvere i casi in cui la forma indeterminata appartiene a funzioni che tra loro non sono legate dal quoziente prima di poter applicare il teorema di De L'Hopital è necessario trasformare l'indeterminazione in un quoziente. Esistono tabelle note, in cui vengono riportate le trasformazioni delle funzioni, a cui è necessario ricorrere per ottenere una funzione alternativa all'originale in modo che risulti possibile applicare il teorema di De L'Hopital per poter così risolvere l'indeterminazione.

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Ogni volta che nel risolvere il limite si ottiene una forma indeterminata del tipo 0/0 oppure Inf/Inf il teorema di De L'Hopital non è necessario utilizzarlo dato che è possibile ricondurre f (x) o g (x) o entrambe le funzioni a una forma modificata che permetta di poter effettuare delle semplificazioni algebriche. Nel caso Inf/Inf di funzioni razionali fratte o di funzioni irrazionali occorre mettere in evidenza, sia in f (x) che in g (x), la potenza di x con esponente massimo. Nel caso 0/0 di funzioni razionali fratte è buona regola ridurre la frazione ai minimi termini in modo che, scomponendo numeratore e denominatore in prodotto di fattori, risultino semplificabili i fattori in comune. Nel caso 0/0 di funzioni irrazionali è invece consigliabile sostituire la funzione con una sua analoga il cui limite permetta di ottenere il medesimo risultato.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Analizzare con attenzione il tipo di limite valutando quale sia la strategia più comoda per risolverlo.

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