Come risolvere logaritmi con base diversa

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Difficoltà: media
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Introduzione

Il logaritmo di una data base, corrisponde all'esponente al quale essa deve essere elevata per ottenere il numero stesso. Nel caso pratico, dati due numeri reali positivi a e b, con a diverso da 0, si chiama logaritmo in base a di b, l'esponente x da assegnare alla quella a per ottenere il numero b. Questa è la regola generale per risolvere i logaritmi, dalla quale derivano tutti i casi particolari, tra cui quello che sarà alla base dell'argomento di questa guida. Nei prossimi paragrafi andremo infatti a vedere come risolvere i logaritmi con base diversa.

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I logaritmi devono avere tutti la stessa base per poter essere chiariti, questo significa che esse devono essere portate tutte allo stesso numero con dei semplici e pratici calcoli. La regola che deve essere applicata è quella del cambiamento del dato diverso. Avendo il log a f (x) = log a g (x) si deve effettuare il dovuto cambio per poterlo risolvere.

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Volendo fare un esempio pratico, avendo log2 (1-x) = log4 (3x + x^2) si deve innanzitutto studiare il campo di esistenza nel quale 1 - x > 0, 3x + x^2 > 0, x < 1 e x > - 3 u > 0. Il campo di esistenza sarà x < -3 u x>0. Quello che si deve fare è fare in modo che i due logaritmi abbiano la stessa base applicando la regalo del cambiamento. Così decido di far comparire solo quelli con la base uguale a 4, la scelta è puramente arbitraria.

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Adesso si avrà che log2 (1 - x) = log4 (1 - x)/ log4 2 che sarà uguale a 2log4 (1 - x). L'equazione diventerà log4 (1 - x)^2 = log4 (3x + x^2). A questo punto devo uguagliare gli argomenti: 1 - 2x + x^2 = 3x + x^2 e si può risolvere l'equazione arrivando al risultato x = 1/5. La soluzione deve essere valutata alla luce del campo di esistenza svolto e trovato in precedenza.

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Visto che la soluzione appartiene al campo esaminato dell'esercizio essendo maggiore di zero, essa è accettabile e il logaritmo con elementi diversi può dirsi risolto. Quando si hanno esercizi similari, per la loro risoluzione deve sempre essere effettuato il cambio di base altrimenti non è possibile risolverlo. Quindi ogni qualvolta ci si trovi di fronte ad un logaritmo con base diversa, occorre applicare la formula sopra riportata e cambiare la base, in modo da ottenere due logaritmi confrontabili e pertanto risolvibili. Si tratta di semplici calcoli che possono essere svolti con l'uso delle formule appena viste. Il primo procedimento deve essere sempre quello della definizione dei campi di esistenza e successivamente si deve scegliere la base con la quale modificare ogni cosa.

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Avendo di fronte un foglio di carta, una penna e una calcolatrice, i calcoli possono essere svolti nel migliore dei modi. Eventualmente si può fare riferimento ad un libro di testo di matematica per poter ripassare le regole generali e le proprietà delle funzioni logaritmiche. I logaritmi possono sembrare di primo acchito un campo ostico, ma avendo un buon formulario davanti ed una buona calcolatrice scientifica, la risoluzione è invece piuttosto semplice, perché basta applicare al caso esempio, i numeri del nostro caso, in modo anche piuttosto meccanico.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • procuratevi una calcolatrice e un buon formulario
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