Come risolvere logaritmi con base diversa

L'algebra è una materia che da sempre tiene sulle spine la maggior parte degli studenti. La difficoltà sta nel fatto che gli argomenti trattati da questa disciplina non riguardano il calcolo elementare. Una delle esercitazioni più complicate riguarda la risoluzione delle equazioni logaritmiche. Il logaritmo di una data base equivale solitamente ad un preciso esponente. Quest'ultimo serve ad elevare la base al fine di ottenere il numero stesso. Se vengono forniti due numeri reali positivi a e b, con a diverso da 0, si avrà un logaritmo di b in base a. Assegnando l'esponente x alla base a, si ricaverà il numero b. Ma andiamo ad analizzare in maniera più chiara questa regola matematica apprentemente incomprensibile. Una nozione di questo tipo ci serve per risolvere i logaritmi. Da questi ultimi provengono alcuni casi particolari, come quello relativo ai logaritmi che hanno base diversa. Grazie ai suggerimenti forniti dal seguente tutorial, scopriremo come risolvere i logaritmi con base diversa in pochi semplici passaggi.

• Conoscenze di matematica
• Logaritmi da analizzare
• Libro di testo
• Calcolatrice scientifica

Innanzitutto bisogna sapere che, per rendere eseguibile il loro chiarimento, i logaritmi devono avere tutti la medesima base. Questo vuol dire che tutte le basi dei logaritmi vanno portate allo stesso numero, attraverso dei calcoli semplici e pratici. La regola che deve venire applicata è quella della modifica del dato differente. Supponendo ad esempio il log a f (x) = log a g (x), per risolverlo è necessario effettuare il cambio opportuno.

Volendo compiere un esempio funzionale, è possibile ipotizzare di avere il log 2 (1-x) = log 4 (3x+x^2). In questo caso bisogna studiare inizialmente il campo di esistenza nel quale 1-x > 0, 3x+x^2 > 0, x < 1, x > - 3 e x > 0. Il campo di esistenza risulterà pertanto x < -3 e x > 0. A questo punto occorre fare in modo che i due logaritmi abbiano la medesima base, applicando la regola del cambiamento. Di conseguenza, è necessario far apparire soltanto i logaritmi con la base uguale a 4. Ad ogni modo, la decisione risulta puramente arbitraria.

Proseguendo con lo svolgimento dell'esercizio, si otterrà l'equazione log 4 (1 - x)^2 = log 4 (3x + x^2). Essa deriva da 2log4 (1 - x). L'equazione va risolta andando ad uguagliare gli argomenti. Si calcolerà dunque che 1 - 2x + x^2 = 3x + x^2. Il risultato di questa espressione numerica con incognita x corrisponderà a x = 1/5. Per verificare l'effettiva esattezza della soluzione, occorre tener conto del campo di esistenza ricavato mediante svolgimento dei passaggi precedenti. Questo elemento è molto importante perché su di esso si baserà l'intero andamento dell'equazione appena risolta.

Valutando la soluzione appena ottenuta dalla risoluzione di logaritmi con base diversa, si ha un elemento maggiore di zero. Per questo motivo esso si può ritenere accettabile. Nel caso in cui si riscontri un'analogia tra più esercizi, è sempre opportuno effettuare il cambio di base. Questo passaggio è necessario per una corretta risoluzione dell'esercizio. Ogniqualvolta si va a lavorare su di un logaritmo con base diversa, va sempre applicata la formula presente nei passaggi precedenti. Inoltre la base va cambiata, in modo tale da avere due logaritmi confrontabili tra loro, entrambi risolvibili. A tal proposito, è bene ricordare che la definizione dei campi di esistenza deve essere il primo step. Subito dopo si potrà scegliere la base che andrà a modificare l'equazione a seconda dei vari casi.

La procedura per risolvere logaritmi con base diversa non è semplicissima, soprattutto per coloro che non hanno conoscenze di base su questo argomento. Per capire meglio, è opportuno munirsi di carta e penna. Facendo riferimento alle nozioni riportate su un buon manuale di matematica, si possono ripassare tutte le regole relative alle funzioni logaritmiche. Questo itpo di calcolo necessita di uno strumento elettronico che supporti la mente. Una calcolatrice scientifica aiuterà quindi a svolgere gli esercizi in maniera più rapida. Per approcciarsi con meno timore a questa tipologia di esercizio, sarà sufficiente applicare i vari numeri al caso.

• Procurarsi una calcolatrice ed un buon formulario per facilitare lo svolgimento degli esercizi.
• Controllare tutti i passaggi svolti per accertarsi che non vi siano errori di calcolo.

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