Come risolvere le serie di potenze

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Introduzione

Prima di poter capire e illustrare come risolvere una serie di potenze, descriviamo il contesto e quindi di cosa si tratta. Ci troviamo di fronte a un argomento di matematica e per essere più precisi, lo ritroviamo nei programmi degli esami di Analisi matematica 2. Per serie di potenze si intende una successione di numeri reali che si viene a definire a partire da un numero reale deciso in partenza detto centro o punto iniziale e una successione di coefficienti appartenenti all'insieme dei naturali.

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Non è un oggetto così nuovo per chi conosce un po' la materia: infatti è una particolare serie di funzioni che, per come è costruita, sappiamo convergere sempre al punto iniziale. Per cui per risolverla non sarà necessaria l'applicazione di teoremi come il criterio del rapporto e della radice, del confronto asintotico... Inoltre detto I l'insieme di convergenza, esso sarà sicuramente non vuoto.

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Tuttavia lo studio della serie di potenze non è esente dalla conoscenza di teoremi. Di una serie di potenze si vuole conoscere il raggio di convergenza R. È definito come un numero reale non negativo, non necessariamente finito, che ci informa sul comportamento globale della serie in fatto di convergenza.

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Ci sono due modi per calcolarlo: il criterio di D'Alembert (o del rapporto, diverso da quello per le serie) e il criterio di Cauchy-Hadamard (o della radice). Partiamo enunciando il primo teorema. Chiamiamo l il limite per k che tende a infinito del valore assoluto del rapporto tra il coefficiente (k+1) esimo diviso a con k. Si possono verificare tre casi. Se l=0, il raggio di convergenza è infinito. Al contrario se l=infinito, il raggio di convergenza è 0. Se l è un numero, R è il suo reciproco. Si arriva alle stesse conclusioni applicando il secondo dei due teoremi citati. In questo caso però l è il limite della radice k-esima del valore assoluto del generico coefficiente a con k.

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Determiniamo ora I insieme di convergenza. Il teorema di Abel asserisce che I è un intervallo. Inoltre presa una serie definita come in precedenza e R raggio di convergenza, si ha che: se R=0 la serie converge puntualmente solo nel suo centro. La convergenza puntuale in tutto l'insieme dei reali si ha se R è infinito. In questo caso si ha convergenza uniforme negli intorni circolari nel centro della serie, chiusi. Infine se R è un numero finito non nullo, la serie di potenze converge puntualmente in ogni punto del disco aperto D centrato nel punto iniziale e di raggio R e uniformemente in ogni punto di un qualsiasi disco chiuso contenuto in D, avente stesso centro.

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