Come risolvere le potenze a esponente razionale
Introduzione
Attraverso pochi e semplici passaggi, vediamo come risolvere esercizi matematici con le potenze a esponente razionale. La definizione di potenza deve essere ben chiara prima di proseguire. La potenza è una operazione matematica che permette di moltiplicare un numero per sé stesso tante volte quante lo prevede l'esponente. In parole povere, il numero 9 possiamo scriverlo in diversi modi: o come somma di più numeri (3+3+3=9) o come un prodotto (3x3=9). Su quest'ultimo caso, focalizziamo l'attenzione. Noi possiamo pensare alla potenza come un modo compatto per scrivere una moltiplicazione. Quindi sciveremo 3^2=9, dove "^" si legge in italiano "elevato alla" e indica l'elevamento a potenza. Se il nostro esponente è un numero frazionario, siamo di fronte a una potenza con esponente razionale.
Occorrente
- Libro di matematica
- Carta e penna
- Calcolatrice
Conoscenze preliminari
Avere dimestichezza con il minimo comune multiplo prima di affrontare le potenze con esponente razionale è essenziale per un corretto svolgimento degli esercizi.Risulta indispensabile anche non avere dubbi sui calcoli semplici delle frazioni. Consulta i Link utili di questa pagina per un ripasso rapido.
Le potenze a esponente razionale possono essere scritte nel modo seguente:a^x/y= (y?a)^x dove "a" è la base. La base è un numero reale non negativo. "x" e "y" sono gli esponenti e devono essere due numeri interi positivi per poter parlare di potenze con esponente razionale. Il risultato è uguale all'elevazione alla "x" di "y" sotto il segno di radice di "a". Detto in questi termini teorici, sembra assai complicato. In realtà con delle conoscenze di base non lacunose, le operazioni sono semplici. Bisogna fare attenzione al numeratore e al denominatore: cambiando l'ordine di calcolo matematico, il risultato diventerebbe sbagliato.
Linguaggio matematico
Alcuni esempi potranno rendere più chiare le idee allo studente che si trova di fronte un esercizio come questo: 9^3/2. Si leggerà: "Nove elevato ai tre mezzi". Il risultato sarà uguale all'elevamento alla terza della radice quadrata di 9. Il procedimento vedrà prima essere eseguito il calcolo della radice quadrata di 9 che è 3. A questo punto, 3 verrà elevato alla terza. Quindi:3^3/2 = 27. Le conclusioni saranno che "9 elevato ai tre mezzi è uguale a 27".
Anche in esercizi più complessi come quelli di seguito, giunti ad una frazione singola come esponente, si proseguirà l'esercizio come qui descritto.La risoluzione degli esercizi esponenziali razionali è più semplice per lo studente che conosce le quattro proprietà delle potenze con esponente razionale. Prosegui nella lettura per scoprire di che si tratta.
Proprietà delle potenze
Il prodotto di due potenze con base uguale ed esponente diverso è una potenza che per base ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. La somma avviene seguendo le regole della somma tra frazioni.
Ad esempio, ci troviamo di fronte un esercizio di questo tipo: 2^2/3 x 2^3/4 (due elevato a due terzi moltiplicato per due elevato ai tre quarti).Bisogna individuare prima la base della potenza che in questo caso sarà 2. Riportiamo quindi il numero 2 sulla seconda riga del foglio di calcolo. L'esponente invece sarà la somma dei due esponenti, quindi 2/3 + 3/4. Mi calcolo la somma delle frazioni (8/12 + 9/12 = 17/12 - di fronte allo stesso denominatore si addizionano solo i numeratori).Quindi avrò: 2^2/3 che moltiplica 2^3/4 = 2^17/12 (due elevato a diciassette dodicesimi).
Il quoziente di due potenze aventi la stessa base ma esponente diverso è uguale a una potenza che che per base ha la stessa base e per esponente la sottrazione degli esponenti. La differenza avviene seguendo le regole standard dell'algebra elementare. Ad esempio: 2^1/2 diviso 2^1/4.La base della potenza sarà 2. L'esponente, invece, sarà il risultato della sottrazione dei due esponenti, quindi 1/2-1/4 = 2/4-1/4=1/4. Di conseguenza: 2^1/2 x 2^1/4=2^1/4.
La potenza di una potenza
La potenza di una potenza è a una potenza che ha per base la stessa base e come esponente il prodotto dei suoi esponenti. Con questa regola generale bene in mente, possiamo calcolarci il risultato di esercizi più complessi.
Io posso avere (3^1/2)^2/3 e in questo caso individuare la base è semplice: sarà 3. L'esponente invece è dato dal prodotto dei due esponenti: 1/2x2/3 = 1/3. Quindi avrò che: (3^1/2)^2/3 = 3^1/3. Occorre tener conto anche che la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori che costituiscono la base. Avrò quindi che nell'esercizio qui di seguito descritto: (16:4)^1/2 = 16^1/2:4^1/2 e si procede con la sottrazione delle basi avendo lo stesso esponente.Attenzione a non incorrere nell'errore di semplificare base ed esponente!
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Consigli
- Prendete carta e penna e scrivete i passaggi delle operazione uno sotto l'altro in modo ordinato. Vi risulterà tutto più chiaro!
- Evitate di fare i calcoli con la calcolatrice a meno che non siano complessi