Come risolvere le identità trigonometriche

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica e tutte le materie che da essa derivano, costituiscono parte fondamentale della maggior parte degli elementi che ci circondano: tetti, ponti e la stessa corrente elettrica possono, infatti, essere ridisegnati sotto forma di funzioni matematiche. Sia a livello scolastico, che nella vita professionale potremmo incorrere nella risoluzione di funzioni più o meno complicate. Vediamo quindi come risolvere le identità trigonometriche.

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Identità trigonometriche

Partiamo dal concetto d'identità trigonometriche. Le identità trigonometriche, sono sostanzialmente delle identità della matematica, che vengono usate al fine di attuare una semplificazione nella risoluzione delle equazioni oppure degli integrali con funzioni trigonometriche. Quelle di base sono:
- sin (seno);
- cos (coseno);
- tan (tangente);
- cot (cotangente);
- sec (secante);
- csc (cosecante);
.

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Funzioni trigonometriche

Ora, possiamo dedicarci alla definizione delle funzioni trigonometriche che abbiamo appena citato in precedenza. Osservate l'immagine di fianco, ovvero una circonferenza con centro O ed avente un raggio = 1. Prendiamo come esempio un angolo α:
- il seno è dato dal valore di BC/OC;
- il coseno è dato dal valore di OB/OC;
- la tangente, rappresentata dal segmento FA, è data da sin (α)/cos (α);
- la cotangente è l'inverso della tangente ed è data da 1/tan (α);
- la secante è data da 1/cos (α);
- la cosecante è data da 1/sin (α).

Qualora prendessimo una circonferenza avente raggio pari a 1 e parlassimo di triangoli rettangoli, andremmo a ricavarne che: sin (α)^2+cos (α)^2=1 (cateto^2+cateto^2=ipotenusa^2).

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Risoluzione

Ora, dopo aver visto i passaggi precedenti, applichiamo qualche semplicissima risoluzione, relativa alla gestione dei possibili segni negativi. Andiamo ad elencare alcune situazioni possibili:
- sin (-α)=-sin (α);
- cos (-α)=cos (α);
- tan (-α)=-tan (α);
- cot (-α)=-cot (α).

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Formule di duplicazione o di bisezione

Ed ora, andiamo a chiudere spiegando le cosiddette formule di duplicazione o di bisezione. Sono un po' complesse, e sono elencate qui:
Sin (2α)=2sin (α)*cos (β) cos (2α)=cos^2(α) – sin^2(α) cot (2α)=(cos^2(α) - 1)/2cot (α)
cos (α/2)=√((1 + cos (α))/2) sin (α/2)=√((1 - cos (α))/2).

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Formule parametriche

Ma se stiamo lavorando con funzioni molto complicate, potrebbero tornarci utili anche le formule parametriche. Ponendo t=tan (α/2), ne consegue:

sin (α)=2t/(1 + t^2)
cos (α)=(1 - t^2)/(1 + t^2)
con i dovuti calcoli e sostituendo a t il valore originale, potremmo ottenere un risultato alla nostra funzione trigonometrica senza troppe difficoltà. Vi auguro buono studio.

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