Come risolvere le funzioni irrazionali fratte

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Lo studio di una funzione rappresenta una tipologia di esercizio abbastanza complicata, e necessita di una conoscenza alquanto approfondita di molti argomenti matematici. Studiare una funzione non richiede esclusivamente di effettuare dei semplici calcoli aritmetici, ma necessita di essere in grado di rappresentare la funzione mediante l'utilizzo di un grafico qualitativo. Per questo motivo si rende necessario avere anche buona capacità di logica ed un po' di ragionamento. In questa semplice ed esauriente guida, pertanto, vi spiegheremo come risolvere le funzioni irrazionali e quelle fratte. A questo punto, non vi rimane altro da fare che seguire i seguenti passi di questa guida matematica. Vi auguriamo, pertanto, buon ripasso.

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Occorrente

  • Buone conoscenze dei concetti matematici
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Come riconoscere una funzione fratta

Prima di tutto, dobbiamo precisare che una funzione è fratta se e soltanto se al denominatore è presente un'incognita. Così, (1/2) x non è fratta, mentre 1/2x lo è. Una funzione è irrazionale, inoltre, quando l'incognita stessa è sotto la radice, oppure costituisce la base di un logaritmo oppure simili. Quello che è necessario andare ad individuare, come prima cosa, è se al denominatore sono presenti i fattori che rendono la funzione appunto irrazionale. Il primo passo da effettuare, nello studio della funzione, è rappresentato dal suo campo di esistenza oppure dal dominio. Nel caso in cui nel denominatore dovessero essere assenti i fattori irrazionali, il campo di esistenza sarà abbastanza semplice da individuare. Per esempio, si ha: y=logx/x. In questo caso il dominio è il seguente: x diverso da zero. Se, invece, avremmo avuto y=x/logx, il dominio sarebbe stato il seguente: x > 0, dal momento che la base di un logaritmo è sempre maggiore di zero.

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La positività di una funzione ed i limiti

Si stabilisce, quindi, l'intersezione con gli assi. Si affrontano i seguenti due casi: il primo, in cui la y viene posta uguale a zero, ed il caso in cui la x viene posta uguale a zero, risolvendo così l'equazione di primo grado con y come incognita. Nel primo caso, pertanto, si deve andare a risolvere l'equazione con un'unica incognita x. In entrambi i casi usciranno fuori uno oppure più punti che indicheranno relativamente le rispettive intersezioni da indicare sul grafico. Successivamente si deve andare a studiare il segno della funzione oppure la cosiddetta positività. In buona sostanza si deve stabilire quale segno assume la funzione in un determinato intervallo. Per farlo è necessario porre la funzione maggiore - uguale a zero, per poi risolverla di conseguenza. Per stabilire i limiti, che possono essere di tre tipi (orizzontale, verticale, obliquo), è necessario guardare al campo di esistenza. Nel frattempo dobbiamo precisare che il limite definisce l'asintoto, ossia una retta alla quale la funzione tende. Nel caso in cui dovesse esistere un limite orizzontale, questo tenderà ad escludere la presenza di quello obliquo e viceversa.

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Il limite orizzontale e quello verticale

Per il limite orizzontale si deve porre lim (x tende all'infinito) f (x), in cui si sostituisce l'infinito alla x. Nel caso in cui dovesse uscire fuori un valore numerico reale, allora si otterrà l'asintoto orizzontale. Per quanto riguarda, invece, il limite verticale, la x deve tendere al valore escluso dal campo d'esistenza ed assumere l'infinito come soluzione. Per stabilire i minimi ed i massimi relativi (ossia i valori minimi e massimi che la funzione assume rispetto all'asse OY), è necessario porre la derivata prima della funzione maggiore oppure uguale a zero.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • è fortemente consigliato di riportare le informazioni ricavate dai vari passi sul grafico nel momento in cui queste vengono ottenute, in modo da rendere più scorrevole il lavoro
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