Come risolvere le frazioni con esponente negativo

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Introduzione

In una potenza si possono riconoscere due elementi: una base ed un esponente. Nella guida seguente chiameremo la base generica "b" e l'esponente generico "n". Quando eleviamo una base b ad un esponente n stiamo dicendo che abbiamo intenzione di moltiplicare b per se stesso n volte. Esempio: 8^4 equivale a dire 8 moltiplicato per se stesso 4 volte.
Cosa succede in caso di n negativo? Le potenze appariranno come frazioni, trasformabili in varie forme a seconda dell'utilizzo che ne vogliamo fare. Proviamo, con la guida seguente, a risolvere i vari dubbi che possono nascere da questa situazione e a rendere chiare le varie proprietà delle potenze negative.

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Potenze negative

La base b, elevata all'esponente -n, risulta essere uguale alla frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore la base b elevata ad n.
Quindi b^(-n) = 1/(b^n). Facciamo un esempio numerico: 2^(-4) = 1/(2^4) = 1/16 = 0,0625.
È estremamente importante che, nei testi e sulle calcolatrici programmabili, venga fatta una scrittura adeguata delle parentesi in quanto senza di esse le frazioni assumerebbero valori assolutamente diversi e sbagliati.

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Potenze con esponente razionale

Cosa succede invece se l'esponente negativo è egli stesso una frazione? Niente di più facile. Innanzitutto ricordiamo cosa succede con un esponente positivo di questo tipo: b^(n/m) equivale alla radice m-esima di m elevato ad n; un esempio numerico potrebbe essere 2^(3/2) = √(2^3), ovvero la radice quadrata di 2 elevato al cubo. Il calcolo diventa, così, immediato: 2^3 = 8, la radice quadrata di 8 risulta essere 2,828. Nel caso di esponente negativo il ragionamento è lo stesso, con gli elementi invertiti. B^(-(n/m)) = 1/(b^(n/m), ovvero il risultato trovato con esponente positivo, ma in questo caso spostato al denominatore. Sarà 1/2,828 = 0,3536.

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Operazioni tra potenze negative

Come sappiamo dalle proprietà delle potenze, se due potenze hanno base uguale non possiamo sommarle senza svolgere il calcolo, ma possiamo moltiplicarle lavorando sugli esponenti. Ovviamente il discorso non cambia per le potenze negative: moltiplicando due potenze con base uguale il risultato che otteniamo è una potenza con la base uguale che ha per esponente la somma degli esponenti. B^n * b^m = B^(n+m) ovvero 2^2 * 2^3 = 2^(2+3) = 2^5 = 32. Nel nostro caso quindi b^n * b^(-m) = B^(n-m) ovvero 2^2 * 2^(-3) = 2^(2-3) = 2^(-1) = 1/2 = 0,5.

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Conclusioni

Come visto, la situazione non è poi così tragica e con un po di allenamento sarà tutto più chiaro. C'è qualcosa però che bisogna ricordare:- Nessuna potenza composta da una base positiva darà mai un risultato negativo, anche avendo un esponente negativo;- Se una potenza negativa ha base negativa, anche il risultato sarà negativo. In bocca al lupo!

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