Come risolvere le espressioni goniometriche

Tramite: O2O 14/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia che può apparire difficile, specie se non la si affronta con un metodo intelligente. Basta imparare a mettere insieme metodi e formule per riuscire a superare anche i problemi più difficili. Purtroppo per gli studenti, molti problemi da affrontare durante le scuole superiori non sono semplicissimi, per il semplice fatto che il metodo non è ancora stato acquisito. Le formule goniometriche o trigonometriche spesso fanno parte di espressioni anche non lineari ( cioè contenenti potenze e radici) e non omogenee. Niente paura c'è un sistema per risolvere anche i casi apparentemente più ostici, o se non altro per restringere gli intervalli. Vediamo quindi come risolvere le espressioni goniometriche.

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Occorrente

  • Libro di matematica
  • Eserciziario
  • Conoscenze base di trigonometria
  • Calcolatore scientifico
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Espressioni lineari

Le espressioni lineari sono formate da combinazioni di costanti che moltiplicano funzioni trigonometriche come per esempio 3+cos(x)-tg(x)=0. IN questi casi, prima di arrampicarsi sugli specchi con complicati sviluppi e trasformando le espressioni in qualcosa di ancor peggiore, conviene esprimere le varie funzioni trigonometriche presenti in funzione di una sola. Esistono infatti delle formule che permettono di riscrivere le varie funzioni come tangenti a patto che l'angolo argomento non sia un multiplo intero di pi greca. Basta porre l'ipotesi e verificarla a posteriori e procedere a riscrivere il tutto in funzione di una sola variabile "t" che sta per tg(a/2) dove "a" non deve essere multiplo intero di pi greca. Nei formulari si trovano le espressioni. Le equazioni diventano quindi semplici funzioni polinomiali che si studiano coi metodi noti. Poi si va a riportare la soluzione in t ad una in t=tg(a/2) che è di risoluzione immediata. Se però l'espressione iniziale è una trappola, nel senso che in realtà con semplici trasformazioni trigonometriche sarebbe possibile ricondurla ad un sistema più semplice se non addirittura banale, il primo passo è ovviamente quello. Ricordate che le espressioni trigonometriche prevedono una scrittura particolare delle soluzioni, in base alla periodicità delle funzioni. Non sempre però la soluzione di un'espressione trigonometrica è periodica, per esempio nel caso delle funzioni miste. Quindi pensateci due volte prima di scrivere la soluzione secca o quella periodica.

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Espressioni omogenee

Per espressioni omogenee si intendono tutte quelle in cui è presente un solo tipo di funzione trigonometrica, variamente declinata. Si tratta a questo punto di effettuare le opportune trasformazioni, applicando le varie formule d trasformazione delle funzioni trigonometriche per riportarle alla forma più semplice e studiare l'espressione per sostituzione, tramite la variabile ausiliaria "y" per esempio, che sostituisce l'espressione trigonometrica ricorrente. La soluzione segue poi tutto il normale sviluppo relativo alle espressioni algebriche fino alla definizione delle soluzioni. Queste ultime poi, vanno calcolate in base alle condizioni imposte dalla trasformante, quindi se per esempio y=cos(x) e y=32 dal problema, avremmo che la nostra equazione trigonometrica non ha soluzione. Esistono molte formule che ci aiutano a rendere omogenee le espressioni. Badate però di evitare scorciatoie come le formule di angolo aggiunto se non siete effettivamente degli esperti di trigonometria, perché rischiereste di peggiorare di molto la difficoltà del problema.

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Espressioni miste

Esiste infine un'ultima categoria di espressioni che coinvolgono le funzioni trigonometriche, quelle miste, cioè che contengono anche elementi algebrici. Le espressioni miste come per esempio cos(x)=x+5, si risolvono per scomposizione in sistemi e via grafica. Per prima cosa si riportano tutti i termini trigonometrici e le eventuali costanti utili a sinistra, mentre a destra ( ma va bene anche invertire le parti) si mettono i termini algebrici, come riportato nella funzione d'esempio. A questo punto si trasforma l'espressione in un sistema di due equazioni nel nostro caso y=cos(x) e y=x+5. Si studiano le due espressioni a parte, tracciandone il grafico nella maniera più accurata possibile, cercando di partire da quello della parte trigonometrica, che tipicamente è la più vincolante. Si traccia poi il grafico della parte algebrica e li si sovrappone cercandone le intersezioni. In casi fortunati le soluzioni si trovano in punti di facile calcolo, altrimenti si deve usare un metodo iterativo, cercando di restringere l'intervallo dei valori che contenga l'effettiva soluzione. Ricordate che le soluzioni per funzioni miste non sono quasi mai periodiche, verificate le condizioni prima di scriverle. Il metodo iterativo è tipicamente ingegneristico, dove la soluzione esatta non è rilevante perché il problema è comunque affetto da errori legati alle approssimazioni di misura ed è sufficiente restringere gli intervalli per verificare che ci troviamo in condizioni di sicurezza soddisfatte.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consultiamo il libro di teoria per ripassare i concetti basi di trigonometria.
  • Se incontriamo difficoltà, chiediamo aiuto a qualcuno che si intenda di matematica.
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