Come risolvere le espressioni con le frazioni algebriche

Le operazioni con le frazione sono da sempre state un argomento ostico per quasi tutti gli studenti, figuriamoci se ora, invece che di semplici frazioni, parliamo di frazioni algebriche. La differenza sostanziale risiede nel fatto che le frazioni algebriche presentano in generale dei polinomi sia al numeratore che al denominatore. I polinomi sono costituiti sia da parte numerica (detta coefficienti) sia da lettere (dette variabili). A volte il numeratore può non presentare la parte letteraria, ciò nonostante, se il denominatore ce l'ha, la frazione è da considerarsi comunque una frazione algebrica. Se siete incappati anche voi a dover fare i conti con queste frazioni continuate nella lettura della guida. Oggi infatti vi spiegheremo come risolvere le espressioni con le frazioni algebriche. Vediamo come fare.

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Il primo passo da compiere per risolvere la nostra espressione con frazioni algebriche è quella di ridurla ad un'unica frazione. Per fare ciò occorre saper effettuare le quattro operazioni fondamentali (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione). Iniziamo dalla moltiplicazioni di due frazioni algebriche. Anche in questo caso vale la semplificazione ad incrocio, ovvero semplificare il numeratore di una con il denominatore dell'altra. Per fare ciò dovete stare attenti che i polinomi da semplificare sia uguali sia per quanto riguarda la parte numerica che letteraria. Ad esempio potrete semplificare un numeratore siffatto (2x+1) con un denominatore identico (2x+1) o che presenti un elevamento a potenza fuori dalle parentesi (in questo caso il denominatore non andrà via del tutto ma si abbasserà solo il grado dell'esponente).
Sono invece errate le semplificazioni del tipo: (2x+1) con (2x-1) o tutti gli altri polinomi.
Una volta semplificato tutto il possibile si procede a moltiplicare il numeratore della prima frazione con quello della seconda e il denominatore con il denominatore. Le regole seguono quelle della moltiplicazione tra polinomi.

La divisione segue le stesse regole della moltiplicazione con l'unica accortezza di invertire la seconda frazione prima di farne la moltiplicazione. Quindi in questo caso vi basterà invertire il numeratore della seconda frazione con il suo denominatore e poi procedere al prodotto come visto nel passo precedente.

Analizziamo ora il caso in cui abbiamo delle addizioni o delle sottrazioni. Il primo passo è fattorizzare i denominatori, cioè esprimere i polinomi in prodotti di più polinomi non scomponibili oppure come prodotto di un monomio per un polinomio. Dopo di che bisogna trovare il minimo comune denominatore tra le due frazioni. Il principio è lo stesso per le frazioni numeriche, cioè occorre trovare il massimo comune divisore tra i denominatori e moltiplicarli tra di loro. Per il minimo comune denominatore, si considerano i monomi comuni con il maggiore esponente.

Dividiamo i denominatori per il denominatore comune e moltiplichiamo i risultati per i numeratori delle frazioni algebriche. Il risultato sarà un unica frazione algebrica con denominatore il minimo comune denominatore e numeratore il prodotto tra i risultati della divisione precedente e i numeratori originari.
Moltiplichiamo i membri del numeratore fra di loro per ottenere un unico numeratore. Nel caso in cui numeratore e denominatore abbiano fattori in comune si procede con la semplificazione, che nel nostro caso non è fattibile.
La sottrazione è analoga alla somma vista al passo precedente. In questo caso però quando si va ad effettuare il minimo comune multiplo e la successiva moltiplicazione, tra i prodotti dei due numeratori ci sarà un segno meno.

• Continuate a fare esercizi finché non padroneggerete l'esercizio

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