Come risolvere le espressioni con le 4 operazioni

In matematica, precisamente in aritmetica, viene definita "espressione" una operazione complessa, costituita da una serie di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni da effettuarsi su una serie di numeri per addivenire ad un risultato finale. Mentre nelle comuni operazioni abbiamo solo due termini ed una operazione (addendi nella somma, sottraendo e minuendo nella sottrazione e così via) nelle espressioni abbiamo un numero elevato di termini e tutte e 4 le operazioni matematiche. La risoluzione delle espressioni può sembrare complessa ma è in realtà facilissima, se si seguono le poche regole che ne sono alla base. In questa guida vi illustriamo come risolvere una espressione aritmetica.

La prima regola da ricordare per la risoluzione delle operazioni riguarda l'esecuzione della corretta sequenza di operazioni. Perché questo è necessario? Supponiamo di avere la seguente espressione:
2+3x2
Ci accorgiamo che se facessimo prima 2+3 = 5 e poi 5x2 = 10 otterremmo un risultato diverso dal caso in cui facessimo prima 3x2 = 6 e poi 6+2 = 8. Diventa dunque necessario che ci sia una regola per fare in modo che il risultato di una certa espressione sia sempre lo stesso, chiunque sia il solutore. La regola è che bisogna effettuare prima le operazioni di moltiplicazione (e/o divisione) e poi le operazioni di addizione (e/o sottrazione). Quindi il risultato corretto del nostro esempio è 2+3x2 = 8.

Da quel che abbiamo detto al punto precedente, possiamo capire come mai non sussista una regola di precedenza tra addizioni e sottrazioni. Prediamo il seguente esempio:
8+5-3 Se facciamo prima 8+5=13 e poi 13-3=10 otteniamo lo stesso identico risultato di 5-3=2, 8+2 = 10.
Ecco perché non serve una regola. Sarebbe inutile. Il risultato non cambia a seconda di quale operazione compiamo prima fra addizione e sottrazione.Lo stesso discorso vale per moltiplicazioni e divisioni. Provate da soli col seguente esempio a verificare che il risultato non cambia anche se cambiate l'ordine fra moltiplicazioni e divisioni:
8x4:2.
Dunque il discorso della precedenza fra le operazioni da eseguire riguarda solo la "famiglia" delle moltiplicazioni e divisioni che deve precedere la "famiglia" delle addizioni e sottrazioni.

Se vogliamo eseguire le operazioni secondo un ordine diverso, dovremo usare le parentesi per contraddistinguere le operazioni da effettuare per prime. Riprendiamo l'esempio fatto due paragrafi fa. Abbiamo detto che:
2+3x2 = 8
perché effettuiamo prima la moltiplicazione e poi la somma.
Ma se scrivessimo:
(2+3)x2
avremmo che il risultato della espressione sarebbe 10.
Infatti dovremmo effettuare prima la somma e poi la moltiplicazione: 2+3 = 5, 5x2 = 10.

La cosa si fa leggermente più complessa se vogliamo usare diversi livelli di parentesi. In questo caso useremo, come livello superiore alle parentesi tonde, le parentesi quadre. Prendiamo ad esempio:
[(2+2)x(3+3)]x(3+2) Andremo a risolvere prima il contenuto delle parentesi tonde, poi delle quadre e poi la moltiplicazione finale.
[(2+2)x(3+3)]x(3+2) = [4 x 6] x 5 = 24 x 5 = 120.

Come livello ancora superiore alle parentesi quadre sono utilizzate le parentesi graffe. Analogamente a quello che abbiamo visto, andremo a risolvere per prime le operazioni contenute all'interno delle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre e, per ultime, quelle all'interno delle parentesi graffe. Ogni volta che risolviamo una parentesi, scriviamo il relativo risultato al posto della espressione tra parentesi e proseguiamo a svolgere i calcoli del livello superiore. Quando avremo risolto tutte le parentesi completiamo le eventuali ultime operazioni poste al di fuori da ogni parentesi ed otterremo il risultato finale della nostra espressione.

Come per le normali operazioni fra due termini, anche all'interno delle espressioni potremo usare le operazioni di prova per verificare passo per passo, di non commettere errori. Infatti un errore commesso nel risolvere una parentesi ce lo trascineremmo dietro per tutto l'esercizio, ottenendo un risultato finale errato.

Le espressioni possono poi divenire più complesse se, oltre alle quattro operaziono, introduciamo anche operatori più complessi, come le potenze, i fattoriali, i logaritmi, le radici e così via. Tuttavia, anche con queste complicazioni, il procedimento base che vi abbiamo descritto non cambia.

Lo studio delle espressioni è molto utile in vista di un tipo di esercizio più complesso che si affronterà alle scuole superiori, cioè la risoluzioni delle equazioni, nelle quali uno dei termini dell'espressione è sostituito da una "x" il cui valore dovremo ricercare per risolvere l'equazione stessa.

A conclusione di questa breve guida possiamo affermare che risolvere le espressioni sfruttando solamente le 4 operazioni di base è un procedimento molto semplice e intuitivo. L'importante è seguire le regole che abbiamo descritto con calma, senza farsi prendere dalla fretta. Se infatti si sbaglia un solo passaggio della espressione, il risultato finale sarà compromesso. Ora, non vi resta che prendere il vostro libro di esercizi e cominciare ad allenarvi. Vedrete che ci metterete sempre meno tempo, e diventerà quasi come un gioco!

• Usate una matita e tenete a portata di mano una gomma da cancellare. In questo modo il vostro quaderno sarà più ordinato ed eviterete errori

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