Come risolvere le equazioni trigonometriche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La risoluzione delle equazioni trigonometriche è un argomento su cui gli studenti hanno particolari problemi. Ci sono alcune ragioni per queste difficoltà: di solito c'è una parte di semplificazione che richiede l'uso di alcune identità trigonometriche; vi è l'uso di radianti anziché dei gradi; c'è l'aspetto ripetitivo delle funzioni trigonometriche che gli studenti trovano difficoltoso. Tutto sommato, un argomento potenzialmente scoraggiante. Ma non c'è da aver paura, finché si affronta questo argomento metodicamente e lentamente. Ecco come risolvere le equazioni trigonometriche.

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La risoluzione delle equazioni trigonometriche non segue alcuna procedura standard, ma ci sono una serie di tecniche che possono aiutare a trovare la soluzione. Tali tecniche sono essenzialmente le stesse di quelle utilizzate nella risoluzione delle equazioni algebriche, solo che in questo caso si lavora con funzioni trigonometriche: è possibile fattorizzare un'espressione per ottenere diverse espressioni più comprensibili, si può moltiplicare o dividere tramite uno scalare, o possiamo calcolare la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Inoltre, utilizzando le otto identità fondamentali, possiamo sostituire alcune funzioni con altre, o dividere una funzione in due funzioni differenti utilizzando tangente, seno e coseno.

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Nelle risoluzione di un'equazione trigonometrica, vale una regola generale: se c'è una soluzione, poi ci saranno un numero infinito di soluzioni. Questa strana verità è dovuta al fatto che le funzioni trigonometriche sono periodiche, ripetendosi ogni 360 gradi (o 2 radianti). Ad esempio, i valori delle funzioni trigonometriche a 10 gradi sono le stesse di quelle a 360 gradi. Il modulo per la risposta ad una simile equazione è θ +2 nΠ, dove θ è una soluzione dell'equazione ed n è un numero intero. Il modo più breve e più comune per esprimere la soluzione di un'equazione trigonometrica è di omettere il +2 nΠ della soluzione, poiché si assume come parte della soluzione stessa di nessuna equazione trigonometrica. Poiché l'insieme dei valori da 0 a 2 Π contiene il dominio di tutte le sei funzioni trigonometriche, se non c'è soluzione di un'equazione tra questi limiti, allora non esistono soluzioni.

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Ecco un esempio: 2 cos (x) - 1 = 0; quindi 2 cos (x) = 1, cos (x) = 1/2, x = π/3, 5π/3. In questo problema, siamo arrivati ​​a due soluzioni nell'intervallo (0,2 π): x = e x = π/3. Con l'aggiunta di 2 n π ad una di queste soluzioni, dove n è un numero intero, potremmo avere un numero infinito di soluzioni.

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