Come risolvere le equazioni parametriche

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Quando vediamo le equazioni per la prima volta, abbiamo paura di non poterle mai risolvere. Ci sembrano operazioni estremamente complicate. Eppure, eseguendo sempre più esercizi, ci rendiamo conto della loro facilità. Tuttavia, notiamo l'inserimento di ulteriori componenti che le rendono più difficili. Nella guida seguente, illustriamo come risolvere le equazioni parametriche. Con pochi e semplici passaggi, ce la possiamo fare senza problemi.

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Espressione

Ecco come risolvere le equazioni parametriche. Partiamo da questa espressione.
(k + 1) x² - 2kx + k - 2 = 0

Considerando che possiamo scrivere un'equazione generica di secondo grado nel modo seguente:
ax² + bx + c = 0

Poniamo:

a = k + 1
b= 2k
c= k -2

Prima di tutto, determiniamo per quali valori di k si ottiene un delta ≥ 0
b² - 4ac ≥ 0 => 4k² -4(k + 1)(k - 2) ≥ 0 => 4k² - 4k² + 8k - 4k + 8 ≥ 0 => 4k ≥ -8 => k ≥ -2

Al termine dell'equazione, avremo soluzioni reali per k ≥ -2

Denominate x (1) ed x (2) le radici dell'equazione, scriviamo le relazioni esistenti tra le radici stesse e i coefficienti dell'equazione parametrica. Eccole: x (1)*x (2) = c / a

x (1) + x (2) = -b / a

Tali relazioni saranno molto rilevanti per la risoluzione di vari problemi inerenti alle equazioni parametriche.

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Esempio

Facciamo qualche esempio pratico. Prendiamo in considerazione l'equazione descritta in precedenza, ossia questa.
(k + 1) x² - 2kx + k - 2 = 0

Calcoliamo il valore di k per cui otteniamo x (1) = 2. Per risolvere questo problema sostituiamo questo valore nell'equazione ottenendo:

(k + 1)*4 - 2k*2 + k - 2 = 0 => 4k + 4 - 4k + k - 2 = 0 => k + 2 = 0 => k = -2

Successivamente, sostituiamo il k con -2 nell'equazione. Poi risolviamo tutto:

-x² + 4x -4 = 0

Cambiamo i segni per motivi di opportunità e comodità. Di seguito, otteniamo:

x² - 4x + 4 = 0 => (x - 2) ² = 0 => x = 2

In maniera casuale, nell'esempio precedente abbiamo rilevato il caso di delta nullo. Quest'ultimo implica 2 soluzioni coincidenti.
Si tratta di un altro possibile quesito, cioè calcolare per quale valore di k si ottengono 2 soluzioni uguali.
Per risolverlo è sufficiente porre il delta = 0:

b² - 4ac = 0 => 4k² -4(k + 1)(k - 2) = 0 => 4k² - 4k² + 8k - 4k + 8 = 0 => 4k = -8 => k = -2.
Continuiamo a scoprire come risolvere le equazioni parametriche.

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Vettore

Adesso calcoliamo per quale valore di k otteniamo x (1) = 1 / x (2)
Tenendo presente le relazioni scritte nel passo 2, ponendo in evidenza:

x (1)*x (2) = c / a

Poniamo:

x (1) = 1 / x (2) => x (1)*x (2) = 1

Sostituiamo ed otteniamo:

1 = c / a

Ora sostituiamo c ed a nell'equazione. Possiamo risolvere il problema.

1 = (k - 2) / (k +1) => k + 1 = k - 2 => 3 = 0
Tale soluzione è impossibile. Di conseguenza, non esistono valori di k tali da ottenere la relazione x (1) = 1 / x (2).

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Relazione

Ecco un ultimo esempio per risolvere le equazioni parametriche. Vediamo per quali valori di k otteniamo x (1) = -x (2).
Considerando la relazione:

x (1) + x (2) = -b / a

Scriviamo che x (1) + x (2) = 0 => 0 = -b / a

Sostituendo i valori di a e b otteniamo:

2k / (k + 1) = 0 => k = 0

Sostituendo il valore di k nell'equazione otteniamo:

x² - 2 = 0 => x = ± √2.

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