Come risolvere le equazioni differenziali coi logaritmi

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Innanzitutto è necessario ricordare la definizione di Equazione Differenziale Ordinaria (EDO). Questa è un'equazione in cui sono presenti una funzione di una variabile (che indicheremo come y (x)), le sue derivate e in alcuni casi la variabile indipendente x. La funzione y (x) rappresenta l'incognita da trovare nell'equazione. In questa guida ci limiteremo a trattare equazioni differenziali di primo grado lineari e a variabili separabili. Le equazioni differenziali di primo grado sono quelle in cui compare solamente la funzione y (x) e la sua derivata prima y'(x) mentre quelle lineari sono quelle in cui queste due funzioni sono legate tra di loro solo da una relazione lineare. Infine un'equazione differenziale si dice a variabili separabili quando è possibile separare la funzione e la sua derivata dalla variabile x da cui queste due dipendono. Un chiaro esempio di equazione differenziale di primo grado lineare e a variabili separabili è y'(x) = 6*x*y (x) ed è l'equazione che useremo in questa guida. Grazie al metodo dei logaritmi è facile risolvere questo tipo di equazioni come illustrato nei passi successivi.

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Separare la variabile

Prendendo sempre l'esempio precedente y'(x) = 6*x*y (x) come primo passo occorre separare la variabile x dalla funzione y (x) e dalla sua derivata y'(x) in modo che queste ultime due siano al primo membro dell'equazione mentre la prima rimanga al secondo membro. Nel nostro caso l'equazione diventa y'(x)*(1/y (x)) = 6*x. Si può notare come questo passaggio non differisca dalle regole di moltiplicazione e divisioni valide anche nelle normalissime equazioni.

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Semplificare l'equazione

Una volta separate le variabili occorre semplificare l'equazione differenziale. Riprendendo l'equazione precedente y'(x)*(1/y (x)) = 6*x riscriviamola senza esplicitare la dipendenza della funzione y (x) dalla variabile x: y'*(1/y) = 6*x. Fatto ciò riscriviamo y' come dy/dx e moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per la variabile dx. Così otteniamo (1/y)*dy = 6*x*dx.
Ottenuta questa forma della nostra equazione differenziale occorre integrare entrambi i membri.

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Integrazione

Infine l'ultimo passo da compiere è integrare entrambi i membri dell'equazione differenziale. Nel nostro caso il primo membro va integrato in funzione della nuova variabile y mentre il secondo in funzione della vecchia variabile x. Per i metodi di integrazione delle funzioni standard si rimanda ad un'altra guida. L'integrale del primo membro è log (y) mentre l'integrale del secondo è 3x^2. L'equazione finale diventa quindi log (y) = 3x^2 e ricordando le regole dei logaritmi troviamo infine y = exp^(3x^2) che è quindi la soluzione finale della nostra equazione differenziale.

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Caso Generale

Nel caso più generale possibile occorre sempre tenere a mente quanto detto in questa guida: il passo fondamentale è separare la variabile dipendente y (x) da quella dipendente x in modo da avere la prima al primo membro dell'equazione mentre la seconda al secondo membro. Quindi bisogna integrare entrambi i membri trattandoli come due integrali separati. È utile ricordare che l'integrale del primo membro sarà sempre una forma simile al log (y) mentre quello al secondo membro varia in base alla dipendenza diretta che ha l'equazione dalla variabile x.

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