Come risolvere le equazioni di secondo grado

La matematica è senza ombra di dubbio la materia che più preoccupa alunni e genitori, in quanto è la più ostica e di conseguenza anche la meno amata dagli studenti di qualsiasi età, a partire da quelli dalle scuole elementari fino ad arrivare agli universitari. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che ogni concetto matematico è strettamente collegato a tutti gli altri, pertanto è necessario comprenderli ed approfondirli tutti nel migliore dei modi onde evitare di riscontrare ulteriori problemi negli studi futuri. Nella seguente guida parleremo delle equazioni di secondo grado, che vengono studiate immediatamente dopo quelle di primo grado e la cui difficoltà può variare a seconda del numero delle incognite. Vediamo allora come risolvere le equazioni di secondo grado.

Ricordo che per il teorema fondamentale dell'algebra le soluzioni della nostra equazione devono essere sempre 2 (eventualmente coincidenti) oppure nessuna. Un'equazione di secondo grado è detta "pura" se b=0 (ax^2+c=0); "spuria" se c=0 (ax^2+bx=0); "monomia" se b e c=0 (ax^2=0). Nel primo caso si trova la radice quadrata del termine noto (non ammette soluzioni se c<0); nel secondo si raccoglie la x e si risolve per la legge di annullamento del prodotto ottenendo due soluzioni di cui un nulla e infine nel terzo le due soluzioni sono nulle e coincidenti.

Adesso guardiamo insieme come risolvere le equazioni Complete. Il metodo da seguire è il seguente: si calcola il discriminante dell'equazione con formula Δ=b^2-4ac. Il Δ è solo un numero ma ci consente di dire se l'equazione ha soluzioni o meno, infatti se il Δ<0 l'equazione non ha soluzioni; se il Δ>0 l'equazione ha 2 soluzioni distinte; se Δ=0 l'equazione ha 2 soluzioni coincidenti. Adesso calcoliamo i due possibili valori dell'incognita x in questo modo: x1/2 = (-b ± √Δ)/ 2a. Una volta trovate le soluzioni non ci resta che sostituirle nell'equazione originaria per verifica, e se abbiamo svolto bene i calcoli l'ugualianza dovrebbe essere verificata!

Un altro metodo alternativo alla risoluzione è quello della "somma e prodotto" (s= x1+x2 e p= x1·x2). Infatti basta trovare due numeri che sommati diano un numero e moltiplicati un'altro, ma che appartengono sempre all'equazione in questione. Facciamo un esempio: l'equazione x^2+5x+4=0 può essere risolta con questo metodo trovando 2 numeri che soddisfino la relazione precedente. Questi 2 numeri sono 1 e 4, infatti 1+4=5 e 1·4=4. A questo punto possiamo dire che le soluzioni dell'incognita sono x1=1 e x2=4.