Come risolvere le equazioni di quarto grado

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Esistono diversi tipi di equazioni, ma quelle di quarto grado sono sicuramente quelle più complicate, almeno per le persone inesperte o alle prime armi. Ci sono diversi passaggi da capire e molti procedimenti da seguire. In questa semplice guida vi verrà spiegato come risolvere le equazioni di quarto grado, mediante la riduzione della stessa e la risoluzione di equazioni di grado inferiore al quarto. Prestate bene attenzione ai diversi passaggi in modo da avere tutto chiaro. Prima di partire è importante individuare a prima vista quale potrebbe essere il metodo risolutivo migliore, se ad esempio gli indici delle potenze fossero pari, l'equazionepotrebbe essere facilmente scomponibile attraverso le equazioni biquadratiche.

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Occorrente

  • Foglio
  • Penna
  • Calcolatrice
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Abbassare di grado l'equazione

Anche se nell'introduzione abbiamo parlato di queste equazioni come se fossero particolarmente difficili, c'è da specificare che comunque un'equazione può arrivare all'ennesimo grado, e quindi non avremo mai un grado che può essere definito il più difficile da risolvere. Però, per questo tipo di equazioni, non abbiamo in realtà una formula risolutiva specifica, ma possiamo applicare diversi passaggi per risolverne diversi tipi. Lo scopo sarà principalmente quello di abbassare il grado dell'equazione, in modo da ottenerne uno più basso e quindi più facilmente risolvibile. Scomponendo l'equazione data, è infatti possibile ottenere due equazioni più semplici, di primo o secondo grado, facilmente risolvibili con l'utilizzo delle formule canoniche. Ovviamente le soluzioni ammesse dall'equazione di partenza saranno tutte le soluzioni trovate risolvendo le equazioni scomposte. I metodi più utilizzati per la scomposizione, sono il raccoglimento a fattore comune, il raccoglimento a fattore parziale, la regola di Ruffini e la scomposizione con equazione associata. Non potendoli vedere tutti, cercheremo di capire i più facili da utilizzare.

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Utilizzare la regola di Ruffini

Abbiamo detto che possiamo effettuare questa riduzione in diversi modi. Un esempio è sicuramente quello di utilizzare la regola di Ruffini. Per mezzo di esso saremo in grado di ottenere un prodotto fra un'equazione di terzo grado e un binomio. Infatti, se partiamo da un'equazione di quarto grado del tipo ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, e la dividiamo per un binomio del tipo (gx-h) siamo in grado di degradarla. A questo punto applichiamo di nuovo lo stesso metodo per quella di terzo grado ed otteniamo un prodotto tra un binomio e una equazione di secondo grado, le cui radici saranno le soluzioni cercate; in questo modo possiamo risolvere l'equazione di quarto grado.

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Riconoscere le equazioni biquadratiche

Se volete provare a risolvere queste equazioni diversamente, potete ad esempio calcolare le radici della vostra equazione, mediante il riconoscimento delle equazioni di tipo ax^4+bx^2+c=0. Queste sono le cosiddette equazioni biquadratiche. Per equazione biquadratica si intende infatti un'equazione di quarto grado il cui polinomio non contiene potenze di grado dispari. Per attuare questo metodo, andremo a cambiare il termine y con x al quadrato, ottenendo l'equazione risolvente. Adesso siamo riusciti ad ottenere l'equazione di secondo grado ay^2+by+c=0, che possiamo facilmente risolvere.

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Trovare le radici dell'equazione risolvente

A questo punto, se l'equazione risolvente ammette radici reali, avremo tre casi: se le radici trovate sono reali positive, l'equazione biquadratica ha quattro radici reali, opposte a due a due. Se le radici trovate sono una reale positiva e una reale negativa, l'equazione di partenza ha due radici reali opposte. Infine, se l'equazione risolvente ha due radici reali negative, l'equazione biquadratica non ammette soluzioni nel campo reale. Insomma, in questa guida abbiamo potuto appurare che per risolvere le equazioni di quarto grado l'unica cosa fare è portarle a gradi inferiori. Anche se il tutto sembra molto complicato, seguendo questi consigli non sarà difficile risolvere la maggior parte delle equazioni di questo tipo. Adesso tocca a voi. Esercitatevi e non avrete più problemi. Provate magari a fare degli esercizi con ogni metodo proposto, e state certi che per voi le equazioni di quarto grado (e quelle di grado inferiore in generale) non avranno più segreti.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Importante è intuire a prima vista il metodo risolutivo più adatto all'equazione del caso
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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