Come risolvere le equazioni

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Una materia che può presentare degli aspetti anche piuttosto ardui da comprendere è senza ombra di dubbio la matematica. In questa guida porremo l'attenzione su un vasto campo della matematica con cui si ha a che fare fin dalla scuola primaria e che se non ben assimilato e compreso, può causare molti disagi. In questa guida infatti vedremo come risolvere le equazioni.

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Cos'è un'equazione di primo grado?

Il termine equazione deriva dal latino aequo, rendere uguale e si può definire come un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono un'incognita, indicata generalmente con la lettera x. Nello specifico, un'equazione lineare, anche detta di primo grado, è un'equazione in cui il massimo esponente dell' incognita è 1. Risolvere un'equazione significa trovare il valore sconosciuto x. La forma canonica di un'equazione lineare è: ax + b = 0 dove a e b sono coefficienti (valori numerici), mentre x è l'incognita. Per trovare la soluzione bisogna porre x = - b/a, questo solo posto che il coefficiente a sia diverso da 0. Da notare che, nel trasporto dei due coefficienti dal primo al secondo membro, il segno è cambiato da positivo a negativo seguendo la regola del trasporto.

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Principi alla base della risoluzione delle equazioni di primo grado

Le equazioni, infatti, fanno riferimento a due principi di equivalenza, la cui conoscenza è necessaria per risolverle: il primo principio di equivalenza che stabilisce che se si aggiunge o si sottrae ai due membri di un’equazione la stessa quantità, l'equazione ottenuta risulterà equivalente a quella data ed il secondo principio di equivalenza che specifica che se si moltiplicano o si dividono i due membri di un’equazione per la stessa quantità, l'equazione ottenuta risulterà equivalente a quella data. Da questi derivano di conseguenza alcune regole fondamentali: la regola del trasporto che stabilisce che in ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro cambiandone il segno e la regola del cambiamento di segno che stabilisce che se si cambiano i segni di tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.

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Esempio pratico di risoluzione di un'equazione di primo grado

Vediamo insieme un esempio pratico di risoluzione di un'equazione di primo grado. Consideriamo la seguente equazione (3x - 5 = - x + 7). Tenendo a mente la regola del trasporto citata precedentemente, trasportiamo tutte le incognite al primo membro e tutti i coefficienti al secondo membro, in modo da ottenere (3x + x = 5 + 7). Una volta completato questo passaggio, possiamo procedere sommando i termini simili (3x+x=4x e 5+7=12) ottenendo (4x = 12) da cui x = 12/4 ed infine x = 3. Il risultato dell'equazione è tre.

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Cos'è un'equazione di secondo grado?

A differenza delle equazioni di primo grado, nelle equazioni di secondo grado l'incognita compare con esponente uguale a due (2). La formula è riconducibile alla forma ax2+bx+c con a diverso da 0. Analizziamo alcuni casi particolari in cui l'equazione di secondo grado è detta incompleta: nel caso in cui b=0 l'equazione è detta pura ed è risolvibile ponendo x2=-c/a ed eseguendo successivamente la radice quadrata di x2. Le soluzioni saranno due: +√x e -√x. Nel caso in cui c=0 l'equazione è detta spuria ed è risolvibile ponendo in evidenza l'incognita x ottenendo l'equazione x (ax+b)=0. L'equazione avrà due soluzioni: x1=0 ed x2=-b/a.

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Risoluzione di un'equazione di secondo grado completa

Nel caso in cui l'equazione sia completa (b e c diversi da 0), la procedura risulta un po più complessa. Per trovare le soluzioni va utilizzata una formula detta risolutrice dell'equazione x=(-b±√(b2-4ac))/2a. Il valore di (b2-4ac) è detto discriminante e le soluzioni dell'equazione dipendono da esso. Se il discriminante è positivo le soluzioni saranno due reali e distinte. Se il discriminante è uguale a 0, la soluzione è soltanto una. Se il discriminante è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali.

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