Come risolvere le disequazioni goniometriche

Le disequazioni goniometriche sono operazioni matematiche nei quali l’incognita è, generalmente, un angolo "x" espresso mediante funzioni di seno, coseno, tangente e cotangente. La matematica è una delle materie più impegnative nell'iter degli studi di ogni alunno, soprattutto nel caso ci siano più funzioni contemporaneamente o che siano di grado maggiore a quelle lineari. Ci sono due metodi risolutivi: grafico e algebrico. In questa guida andremo a vedere come ridurre una disequazione alla sua forma elementare e risolverla.

• Foglio di carta o quaderno
• Penna
• Calcolatrice
• Goniometro

Le forme elementari delle disequazioni sono espresse nel seguente modo: sen x > c, cos x > c, tan x > c dove "c" è un valore numerico. Questo valore ha dei limiti se parliamo di funzioni in seno e coseno, poiché esse sono funzioni limitate per valori che vanno da -1 a +1. Nel caso "c" non rientri in questi valori e la funzione sia seno o coseno chiaramente l'esercizio è risolto: impossibile. In questo caso, dovremo aiutarci con il metodo grafico. Adottando questo metodo rappresentiamo la circonferenza goniometrica (quella che ha raggio unitario e il cui centro coincide con l’origine degli assi cartesiani).

Proviamo dunque a risolvere una disequazione elementare: sen x > ½. Il valore "c" si trova sull'asse delle ordinate poiché la funzione richiesta è quello del seno, precisamente a metà del raggio della circonferenza goniometrica. A questo punto tracciamo una parallela all'asse "x" in corrispondenza del valore richiesto. La circonferenza risulterà divisa in due parti: valori maggiori e minori di ½. I valori somiglianti sono indicati nelle tabelle goniometriche ma appartengono agli angoli noti 30° e 150°. La soluzione sarà, quindi, la porzione maggiore di circonferenza. Ovvero la seguente: 30° < x < 150°. Dovranno, inoltre, essere considerare tutte le soluzioni che differiscono di un giro completo. La soluzione finale verrà scritta in questo modo: 30° + k 360°< x <150° + k 360° (dove k è un numero naturale compreso tra zero e infinito).

Lo stesso iter di risoluzione è valido anche per la funzione coseno e la funzione tangente. Per il coseno basta "invertire" gli assi rispetto a quanto fatto con il seno. Se fosse per esempio cos x > ½, il valore ½ dovrà essere identificato sull'asse delle ascisse e la retta che si traccerà dovrà essere parallela all'asse delle ordinate. Per la tangente si dovrà considerare solo una semicirconferenza (da 0° a 180°) essendo una funzione periodica con periodo 180° (o π). Inoltre, il valore della tangente dovrà essere identificato su di una retta verticale condotta dall'origine all'asse x. Questo perché la tangente di 1 è pari a 45° e la parte di circonferenza da considerare è solamente quella che va da 45° (π/4) a 90°(π/2). La parte a sinistra di 90° (π/2) individua infatti valori della funzione tangente da meno infinito a zero.

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