Come risolvere le disequazioni esponenziali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui l'incognita si trova come esponente di una base. Inoltre per le proprietà delle potenze è possibile affermare che il prodotto tra due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Sempre per la proprietà delle potenze il quoziente tra due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Vediamo quindi, nella guida che segue, come risolvere correttamente le disequazioni esponenziali.

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Considerate la disequazione iniziale

Per le disequazioni esponenziali è necessario differenziare due casi: se la base è maggiore di uno, il verso della disequazione si conserva; se la base è compresa tra zero e uno, il verso della disequazione cambia. Ad esempio considerate la disequazione: 2^(x^2+3x-4)>1. In prima approssimazione è possibile dire che la base dell'esponenziale è maggiore di uno e pertanto il verso della disequazione si manterrà. Riscrivete questa disequazione notando che al secondo membro il valore uno può essere scritto come 2^0 (due elevato a zero); quindi avrete 2^(x^2+3x-4)>2^0.

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Cambiate il segno dell'esponente

Consideriate ora se la base dell'esponenziale è compresa tra zero e uno. In questo caso il verso della disequazione cambia. Risolvete la disequazione esponenziale (1/3)^x<27. Potete riscrivere (1/3)^x come 3^(-x); in questo modo, facendo l'inverso della base 1/3, cioè 3 e cambiando il segno all'esponente avrete lo stesso esponenziale espresso in quest'altra forma. Deduciamo che la base è maggiore di uno e pertanto potrete procedere come già citato nel precedente esempio. Per cui avrete 3^(-x)<3^(3), questo implica che -x<3 e quindi x>-3 verifica la disequazione esponenziale.

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Esercitatevi molto

Dopo aver appreso le definizioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche, dovete pensare a come risolvere le equazioni che le coinvolgono. In questo passo vedremo come risolvere le equazioni esponenziali e la risoluzione delle equazioni logaritmiche. Esistono essenzialmente due metodi per la risoluzione delle equazioni esponenziali. Il primo è abbastanza semplice, ma richiede una forma molto speciale dell'equazione esponenziale. L'altro metodo lavora invece su equazioni esponenziali più complicate. Una diseguaglianza con uno strano esponente si comporta esattamente come una disuguaglianza senza un esponente o un'equazione tradizionale con un particolare esponente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Una diseguaglianza con uno strano esponente si comporta esattamente come una disuguaglianza senza un esponente o un'equazione tradizionale con un particolare esponente.
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