Come risolvere le disequazioni di grado superiore al secondo

La matematica è da sempre l'incubo per gran parte degli studenti delle scuole medie superiori. In special modo, equazioni e disequazioni rappresentano uno scoglio difficile da superare. In questa guida spiegheremo come risolvere le disequazioni di grado superiore al secondo. Nel dettaglio, questi esempi che andremo per fare, riguardano la risoluzione del tipo f (x) > 0 oppure f (x) < 0, in cui f (x) si riferisce ad polinomio di grado superiore al secondo ma scomponibile in fattori di primo e di secondo grado. Per risolvere disequazioni di questo genere è necessario studiare il segno di ogni fattore in cui il polinomio f (x) è stato scomposto, ed applicare la regola dei segni, relativa al prodotto.

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In questo primo esercizio spiegheremo come risolvere la disequazione 4x^3 - 7x^2 - 2x ≤ 0. Per prima cosa è necessario raccogliere x a fattore comune, ottenendo: x (4x^2 -7x^2 - 2x) ≤ 0
A questo punto, è necessario esaminare il segno del secondo fattore, risolvendo la disequazione
4x^2 - 7x - 2 ≥ 0
Dal momento che DELTA = 49 + 32 = 81 > 0 -----> 4x^2 - 7x - 2 = 0 per x ≤ -¼ e per x = 2
risulterà: 4x^2 - 7x - 2 ≥ 0 per x ≤ - ¼ e per x = 2
Nello schema che riportiamo qui a fianco sono indicati i segni dei due fattori, e sull'ultima riga quello del loro prodotto. Dallo schema si deduce, pertanto, che trinomio 4x^3 - 7x^2 -x è positivo per -¼ < x < 0, x > 2, è nullo per x = -¼, x = 0, x = 2, mentre è negativo per x < -¼, 0 < x < 2.

In questo esempio illustreremo come risolvere la disequazione x^3 - b^3 > 0 (b ≠ 0). Per prima cosa, possiamo scriverla così: x^3 = (x-b) (x^2 + bx + b^2), in cui x - b > 0 per x > b
x^2 + bx + b^2 > 0 per ogni x
In quanto DELTA = b^2 - 4b^2 = -3b^2 < 0, ne consegue che il segno del prodotto (x - b) (x^2 + bx + b^2) coincide con il segno di x - b. Quindi, x^3 - b^3 > 0 per x > b
A questo risultato si può arrivare anche mettendo in pratica la proprietà delle disuguaglianze, in base alla quale, elevando a potenza con un esponente dispari entrambi i membri di una disuguaglianza, si ricava una disuguaglianza equivalente.

In quest'altro esempio risolveremo la disequazione x^4 - 5x^2 + 4 ≤ 0. L'equazione associata è una biquadratica: x^4 - 5x^2 + 4 = 0
Tale equazione si può risolvere, mettendo x^2 = t e considerando l'equazione: t^2 - 5t + 4 = 0
che è soddisfatta per t = 1 e t = 4. Quindi, si può scrivere: x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1) (x 2 - 4)
I segni dei due fattori sono indicati nella rappresentazione grafica che abbiamo qui riportato. Pertanto, il trinomio x^4 - 5x^2 + 4 è positivo per x < -2, -1 < x < 1, x > 2, è nullo per x = -2, x = -1, x = 1; x = 2, ed è negativo per -2 < x < -1, 1 < x < 2. La disequazione è, quindi, soddisfatta per: x appartenente [ -2; -1] U [ 1; 2].

In quest'ultimo caso, andremo a risolvere la disequazione x^4 - b^4 > 0 (b ≠ 0)
Questa equazione si può scrivere in questa forma: x^4 - b^4 = (x^2 + b^2) (x^2 - b^2)
Deriva, quindi: x^2 - b^2 > 0 per ogni x e x^2 - b^2 > 0 per x < -|b| U x > |b|
Una conclusione che si può fare, è che il segno del prodotto (x ^ 2 + b ^ 2) (x ^ 2 - b ^ 2) coincide con il segno di x ^ 2 - b ^ 2; quindi risulterà: x^4 - b^4 >0 per x < -|b| U x > |b|
Alla stessa maniera, si verifica che: x^6 - b^6 >0 per x < -|b| U x > |b|
Infatti, x^6 - b^6 = (x^2)^3 = (x^2 - b^2)(x^4 + b^2 x^2 + b^4)
Il primo fattore, x^2 - b^2, è positivo per x < -|b| U x> |b|, mentre il secondo fattore, x^4 + b^2 x^2 + b^4, è positivo per ogni x.