Come risolvere le disequazioni con il modulo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Prima di scrivere il procedimento per risolvere le disequazioni con il modulo è utile conoscere la definizione di quest'ultimo. Per modulo di un numero reale qualsiasi a si dice I a I modulo di a o valore assoluto di a il valore positivo o nullo di a stesso. Quindi se a è positivo o nullo sarà a stesso, mentre diverrà - a se è negativo. Procediamo ora a risolvere una semplice disequazione con il modulo, facendo un esercizio per capire in modo più semplice e pratico. La nostra disequazione, lavorando nell'insieme dei numeri reali, sia : 3x + I x - 2 I > 0. Il modulo, come abbiamo detto sopra, per definizione, è sempre di valore positivo, quindi come soluzioni dovremo prendere x - 2 dove è positivo e - (x - 2) quando diventa negativo, cioè cambiamo di segno nel caso fosse minore di zero. Il modulo, in matematica sta anche ad indicare un numero senza segno, quindi senza più e senza meno, infatti svolgendolo si ottengono due versione della stessa funzione, ma di segno opposto.

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Occorrente

  • Libro di Matematica
  • conoscenze di base relative alla Matematica
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I segni

Avremo a questo punto: I x - 2 I = x - 2 se x è > 2 o x = 2; I x - 2 I = - x + 2 se x < 2. Nella risoluzione del modulo una delle parti in cui abbiamo scomposto la disequazione deve contenere anche l'uguale =. Possiamo metterlo indifferentemente sia sul maggiore >, che sul minore <.
Passiamo ora a descrivere gli intervalli delle soluzioni accettabili aiutandoci con la retta in cui rappresentiamo i numeri reali. Risolveremo le due disequazioni: 3 x - x + 2 > 0 da meno infinito a 2 e 3 x + x - 2 > 0 da 2 a più infinito. Ricordandoci di mettere anche uguale in una delle due disequazioni. Otterremo due sistemi, cioè dovremo trovare le soluzioni comuni a x < 2 o x = 2 e 3 x - x + 2 > 0 ed anche x > 2 e 3 x + x - 2 > 0. Risolviamo il primo: x < 2, x = 2 e 3 x - x + 2 > 0. Ottengo x minore o uguale a 2 e x maggiore di 1/2.

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Le soluzioni

Segnando le soluzioni su due rette parallele vedo che per - 1/2 < x < 2, sono accettabili. Risolvendo il secondo sistema otteniamo: x < 2 e 3 x + x - 2 > 0 cioè x < 2 e x = 2 e x > - 1. Le soluzioni sono sulla retta -1 < x < 2, accettando anche x = -1. Mettendo insieme le soluzioni dei due sistemi otterremo qualla finale che è: x > -1. Rifare il calcolo se non otteniamo il seguente risultato. Spesso bisogna ripetere il calcolo perché un solo segno può cambiare l'intero procedimento.

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Le condizioni

Più difficili da spiegare che da eseguire le disequazioni con il modulo, devono rispettare sempre la condizione che i valori all'interno delle due barrette verticali siano positivi complessivamente, sia che si tratti di un termine solo oppure ci si riferisca alla somma di una variabile ed un numero. Le disequazioni inoltre possono contenere uno o più moduli e quindi si dovranno porre più condizioni e risolvere più sistemi per trovare le soluzioni. I valori all'interno del modulo, inoltre, possono essere anche di valore superiore al primo grado ed andranno risolte come loro compete.

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Consigli

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