Come risolvere le coniche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Gli studenti che abbiano intrapreso un indirizzo di studi matematico potranno imbattersi nell'analisi delle coniche, trovando qualche difficoltà nella risoluzione degli esercizi relativi. Si definiscono coniche tutte le curve che si ricavano dall'intersezione di una superficie conica con un piano qualsiasi non passante per il vertice, ovvero il punto non giacente nella falda del cono che le rette generatrice dello stesso congiungono con i punti della circonferenza. In qualità di luoghi geometrici, le coniche possono essere rappresentate analiticamente mediante un sistema di riferimento cartesiano x e y, ricavando la relativa equazione algebrica e determinandone le caratteristiche più rilevanti. Se anche voi siete alle prese con questo argomento e desiderate avere le idee più chiare al riguardo, proseguite nella lettura delle guida seguente nella quale verrà indicato come risolvere facilmente le coniche.

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Studiare la teoria

Un passo preliminare da compiere per approcciarsi nel modo giusto alla risoluzione degli esercizi relativi alle coniche consiste nel consultare i manuali e i libri di testo adottati dal vostro docente, leggere con attenzione i capitoli dedicati alle sezioni coniche e studiare per bene la parte teorica con le annesse definizioni. Solo quando sarete certi di avere un inquadramento teorico complessivo, magari approfondito da qualche dispensa del vostro professore che potrà risolvere eventuali dubbi, potrete accostarvi all'equazione delle coniche e alle loro rappresentazioni analitiche.

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Classificare le coniche

Data l'equazione di una conica, occorre prima di tutto classificarla, tenendo conto che esistono tipi diversi di coniche. La distinzione fondamentale è quella tra coniche non degeneri, quando il piano con il quale si interseca il cono non passa per il centro, e coniche degeneri, ovvero quelle ottenute dal piano secante la circonferenza di base che passa per il vertice. Nel primo caso, sulla base dell'inclinazione del piano non giacente sulla superficie conica rispetto alla perpendicolare che congiunge il vertice al piano della circonferenza di base, si distinguono le circonferenze, le ellissi, le iperbole e le parabole.

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Risolvere le equazioni

Facendo riferimento ad un sistema cartesiano con assi ortogonali, le coniche non degeneri possono essere espresse mediante funzioni algebriche di secondo grado, essendo dei luoghi geometrici derivanti dal prodotto di due equazioni di primo grado. In base poi alla relazione tra i coefficienti potrete stabilire nello specifico di quale conica si tratta, tenendo conto della forma canonica dell'equazioni relativa alla conica, ovvero ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0. Con i valori forniti dall'esercizio, in altre parole, e la costruzione dei sistemi si potrà determinare ad esempio che la conica in oggetto è una parabola o un iperbole se b^2-4ac è uguale a zero, nel primo caso, o maggiore di zero nel secondo.

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