Come risolvere l'integrale di una funzione razionale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Saper calcolare gli integrali di una funzione razionale rappresenta uno degli strumenti fondamentali non solo per un matematico, ma anche per ogni geometra, ingegnere o fisico. Acquisire pratica e dimestichezza con le tecniche di risoluzione richiede pratica e pazienza e l’argomento potrebbe inizialmente risultare ostico, ma se non vi lascerete scoraggiare ben presto risolvere l'integrale di una funzione razionale sará come bere acqua fresca.

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Prima di entrare nel dettaglio daremo un’occhiata ad alcuni casi semplici, in cui la sostituzione ordinaria funziona speditamente. Quindi affronteremo ciascuno dei suddetti metodi. Sostituzione. In taluni casi speciali gli integrali delle funzioni razionali possono essere trovati attraverso semplici sostituzioni. Il caso piú facile si presenta quando il numeratore è derivata del denominatore. Divisione Polinomiale. Quando una sostituzione non ci aiuta a risolvere l’integrazione di una data funzione razionale, l’approccio sistematico consiste nel ricorrere ad espansioni di frazioni parziali. Poiché questo metodo funziona per le funzioni razionali proprie, se l’integranda è una funzione razionale impropria, dobbiamo dapprima esprimerla come un polinomio piú una funzione razionale propria. Ossia se vogliamo integrare p (x)/q (x) ed il grado del numeratore p non è inferiore al grado del denominatore q, il nostro primo passo consiste nello scrivere la funzione dell’immagine 3, laddove f è un polinomio ed il grado del resto r è inferiore al grado di q.

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Decomposizione in Fratti Semplici. Lo scopo di una decomposizione è di prendere una funzione razionale propria ed esprimerla come la somma di funzioni razionali piú semplici. In pratica si tratta di invertire l’addizione ordinaria di razionali. Prendiamo ad esempio l’immagine 4. Quel che dobbiamo fare ora è invertire: iniziando dal lato destro dell’equazione, scomporla per ottenere il lato sinistro. Ció si ottiene passo per passo, come segue. Passo 1: Fattorizzare il denominatore in fattori lineari. Passo 2: Espandere usando coefficienti indeterminate A, B, C, . . .. Questo implica riscrivere la funzione razionale come una somma di termini che associano a ciascun fattore il corrispondente fratto del denominatore. Passo 3: Risolvere le frazioni. Moltiplicare entrambe il lati per il denominatore, di modo che non rimangano frazioni. Passo 4: Risolvere i coefficienti. Passo 5: Sostituire A, B, C, . .. Nell’espansione.

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Completare il Quadrato. Quando si ha a che fare con fattori elevati alla potenza, spesso è utile riscriverli in una forma che non coinvolga esplicitamente un termine lineare (x). Per illustrare questo procedimento, consideriamo il polinomio x2 − 6x + 8. Prendiamo il coefficiente di x, dividiamolo per 2 ed eleviamolo al quadrato per ottenere (−6/2)2 = 32 = 9. Sommiamo e sottraiamo questo numero e fattorizziamo il risultato per ottenere x2 − 6x + (9 − 9) + 8 = (x2 − 6x + 9) − 1 = (x − 3)2 − 1. Abbiamo appena riscritto il quadratico originale in una forma priva di termine lineare. Se il coefficiente del termine x2 non è 1, dobbiamo fattorizzarlo prima di iniziare.

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Integrazione Termine per Termine. Una volta scritta una funziona razionale come la somma di un polinomio ed una decomposizione in fratti semplici, per trovare l’integrale possiamo integrare termine per termine. L’integrale di un polinomio è di facile risoluzione, cosí come l’integrale di una funzione razionale propria con un denominatore lineare. Per integrali con quadratici nel denominatore, lo strumento è la formula dell’immagine 6, che deriva dalla formula di integrazione di base usando la sostituzione w = x/a. Se l’elevazione al quadrato riguarda un termine lineare, possiamo dapprima eliminarlo, completandone il quadrato.

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