Come risolvere l'integrale del logaritmo

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Se dovete risolvere l’integrale di un logaritmo e non sapete proprio da dove iniziare, niente paura! Il simbolo utilizzato in analisi matematica è ∫. Chiariti i concetti fondamentali, in questo tutorial vi illustreremo come risolvere l’integrale di un logaritmo. Il procedimento è leggermente laborioso e richiede adeguate conoscenze di base. Vi consigliamo di porre molta attenzione nella lettura.

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Occorrente

  • Un buon libro di analisi matematica
  • Una seria conoscenza di base
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Il Teorema

Avete trovato la guida che fa al vostro caso. Innanzitutto, dovete avere chiaro il concetto di logaritmo. In matematica, si definisce logaritmo di un valore “x” in base “a” quell’esponente per cui “a” si deve elevare per raggiungere “x”. Quindi, se x = a^b, si deduce che b è il logaritmo di x in base a (b = loga x). L’integrale, invece, è un determinato operatore che, di fronte ad una funzione con una sola variabile, collega ad essa, in un intervallo ben definito (y, z), l’area (A) ricavata dalla suo grafico. Il Teorema del calcolo integrale afferma che una funzione corrisponde alla primitiva della funzione di partenza. Saprete che, in una funzione f, si definisce primitiva (o antiderivata) F quella funzione che ha la derivata corrispondente alla funzione di partenza: f (x) = F’(x). Nella seconda parte del teorema si determina anche la possibilità di quantificare l’integrale di una funzione tramite una delle sue primitive. Quindi, se:
F (x) = ∫ bx f (s) ds
e
b≤x≤c
otterrete che:
∫bc f (x) sx = F (c) – F (b).

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L’integrale del logaritmo

Per meglio delucidare la nozione, ecco un esempio pratico. Per risolvere l’integrale del logaritmo log (y), dovete quantificare l’integrale per parti.
∫ log (y) dy
Trascrivete l’integrale del logaritmo come:
∫ 1• log (y) dy.
A questo punto, dovete considerare f ’(y) = 1 come funzione derivata.
i (y) = log (y) è la primitiva.
Ricavate la formula di integrazione per parti:
∫ f ’(y) i (y) dy = f (y) i (y) - ∫ f (y) i’ (y) dy.
Semplificate l’integrale:
∫ 1• log (y) dy = y log (y) - ∫ y • (1/y) dy.

Continua la lettura
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Il risultato per derivazione

Ne dedurrete che:
= y log (y) - ∫ 1 dy.
Avete ottenuto che y è l’integrale di 1, mentre l’integrale di log (y) corrisponde a:
∫ log (y) dy = y log (y) – y + c.
Se provate a dimostrare il risultato per derivazione, vedrete che la soluzione è esatta.
L’argomento trattato è abbastanza ostico e richiede una seria preparazione di base. Vi consigliamo di dedicarvi ad uno studio assiduo e costante e di esercitarvi con regolarità. Basta un piccolo dubbio non chiarito per crearvi difficoltà nella risoluzione di un problema. E, naturalmente, non esitate a chiedere delucidazioni all’insegnante su eventuali incertezze.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Un’adeguata preparazione ed uno studio attento ed assiduo vi aiuteranno a comprendere meglio i problemi legati agli integrali di un logaritmo.

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