Come risolvere il quadrato di un binomio

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida andremo a vedere come risolvere il quadrato di un binomio. Si tratta di un argomento di interesse matematico di grande importanza in quanto rappresenta una delle basi di questa complessa ma affascinante disciplina. È necessario saperlo gestire perché è quasi sempre presente nelle espressioni od equazioni ed è uno dei sei prodotti notevoli matematici. Per capirlo e saperlo riconoscere è importante avere anche una base teorica per cui, per prima cosa, cercheremo d definirlo.

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Il quadrato di un binomio si risolve, di base, seguendo il seguente schema: si fa il quadrato del primo termine che andrà addizionato al quadrato del secondo termine. Il risultato che si otterrà da questa semplice operazione andrà a sua volta addizionato a doppio prodotto del primo per il secondo termine. Così spiegato potrebbe sembrare complicato ma se osservate la formula matematica e sostituite le lettere con i numeri vi accorgerete che si tratta di un gioco da ragazzi
(a+b) ² = a²+b²+2ab. Se nell'equazione avesse dovuto esserci un segno meno questo verrà riportato solamente nel doppio prodotto.

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Passando alla parte pratica vi sembrerà tutto ancora più chiaro e semplice. Cominciamo da un esempio tra i più semplici: (3x+4) ² = 9x² + 16 + 24x oppure (2x-5) ² = 4x² + 25 - 20x. Tutto quello che è stato fatto è stato applicare la formula precedentemente descritta. Man mano che farete pratica vi imbatterete in procedimenti sempre più complessi. Tra questi esempi sicuramente è impossibile non citare il quadrato di un binomio che vede i due termini di interesse espressi sotto forma di frazioni. Ovviamente in questo caso non dovete dimenticare di fare il quadrato sia del termine che sta al numeratore che di quello che sta al denominatore. Cominciamo a vedere qualche esempio collegato a questo caso. (2/9a - 1/2b) ² il cui risultato è 4/81a² + 1/4b² - 2/9ab. Ricordate, ove possibile (soprattutto nel doppio prodotto) di semplificare la frazione ottenuta, potete farlo, in questo caso, anche con il classico metodo ad incrocio (il numeratore di una frazione con il dominatore dell'altra e viceversa).

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Un'altra situazione in cui potreste trovarvi è questa: (-5x - 2/3y) ² = 25x² + 4/9y² - 20/3 xy. In questo caso entrambi i termini portano un segno meno. Il risultato vedrà però la presenza di tre termini positivi. Questo è possibile perché i numeri negativi elevato al quadrato danno sempre come risultato un numero positivo. La stessa cosa vale per il doppio prodotto in quanto si tratta di una moltiplicazione tra due fattori negativi che, pertanto, daranno origine ad un risultato positivo.

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Ora come ultima cosa andiamo a vedere come si risolve il quadrato di un binomio in cui uno solo dei due termini è espresso come frazione. Applicando esattamente gli stessi concetti visti in precedenza potrete affermare con abbastanza facilità che il risultato sarà questo: (4/3a + 5b) ² = 16/9a² + 25b² + 40/3 ab.

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