Come risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado

tramite: O2O
Difficoltà: media
14

Introduzione

Per risolvere il sistema elementare introduciamo la variabile ausiliaria {\displaystyle t} e scriviamo l'equazione {\displaystyle t^{2}-st+p}. Le due soluzioni {\displaystyle t_{1}} e {\displaystyle t_{2}} sono le soluzioni del sistema. Possiamo utilizzare piccoli accorgimenti attraverso le Formule di Waringper rendere gli altri sistemi uguali a quello elementare.{\displaystyle 1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy}, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=(S^{2}-A)/2\\x+y=S\end{matrix}}\right.}In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.{\displaystyle 2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy (x+y)}, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=(S^{3}-A)/3s\\x+y=S\end{matrix}}\right.}In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.{\displaystyle 3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy}otteniamo il sistema{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=P\\(x+y)^{2}=A+2P\end{matrix}}\right.}Se {\displaystyle a+2p<0} non ci sono soluzioni reali. Se {\displaystyle a+2p\geq 0} esiste le radice reale. Le soluzioni saranno date dall'unione di due sistemi elementari:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y={\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.}e.


Come risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado.

24

Fffc

Prima di riuscire a risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado è importante comprendere cosa intendiamo per sistemi simmetrici.
Un sistema si dice simmetrico quando scambiando tra loro le due incognite, ovvero sostituendo la x alla y e la y alla x le equazioni del sistema non variano.

34

Fcc

Esistono diversi tipi di sistemi simmetrici. Il sistema simmetrico più semplice è detto elementare e presenta due equazioni:

{x+y= S
xy= P

Essendo S e P due numeri reali.


Esistono inoltre sistemi di grado superiore che presentano le seguenti formule.

1) {x^2 + y^2 = A
x + y = S

2) {x^3 + y^3 = A
x + y = S

3) {x^2 + y^2 = A
xy= P.

Continua la lettura
44

Cfc

Chiameremo sistema simmetrico elementare un sistema in cui abbiamo un'equazione con la somma delle incognite e l'altra equazione con il loro prodotto:
x + y = 5
xy = 6

in pratica equivale a risolvere il problema gia' visto di trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto; cioè bastera' risolvere un'equazione di secondo grado in z del tipo
z2 - sz + p = 0
con s somma delle incognite e p prodotto delle incogniteVediamo un esempio; risolvere il sistema:
x + y = 5
x y = 6

considero l'equazione

z2 - sz + p = 0
con
s = x + y = 5
p = x · y = 6
Otteniamo l'equazione
z2 - 5z + 6 = 0
per trovare x ed y risolviamo l'equazione
applico la formula risolutiva
-b b2 - 4acz1,2 = 2aabbiamo:
a = 1
b = -5
c = 6
sostituiamo nella formula

-(-5) (-5)2 - 4(1)(6) z1,2 = =2(1)
facciamo i calcoli dentro radice

5 25 - 24= =2

5 1= =2

.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Geometria analitica: l'iperbole

La geometria analitica studia le figure geometriche attraverso il piano cartesiano, in cui ogni punto è definito da due coordinate; con il termine ascisse indichiamo l'asse delle x e con ordinate l'asse delle y. Nella guida che segue ci occuperemo di...
Superiori

Come risolvere un'equazione a due incognite

È risaputo ormai che la matematica rappresenta la chimera un po' per tutti gli studenti. Uno degli argomenti più ostici con cui ogni studente delle scuole superiori si troverà prima o poi a confrontarsi, sono sicuramente le equazioni. Si tratta di...
Università e Master

Come verificare che la distribuzione in una serie di dati sia normale

In moltissimi settori, dall'industria all'economia, occorre spesso effettuare dei test statistici. I test statistici sono spesso finalizzati alla verifica dell'aleatorietá dell'incertezza legata alle misure sperimentali. Infatti, se i dati hanno una...
Università e Master

Come risolvere una equazione diofantea

Un'equazione diofantea è un'equazione algebrica in una o più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Prende il nome dal matematico Diofanto, vissuto nel III secolo d. C., noto per l'epitaffio che permette di calcolare l'età della sua morte...
Lingue

L'inglese in viaggio: vocaboli e frasi

Viaggiare per scoprire nuovi luoghi e nuove culture, è sicuramente una delle attività preferite da molte persone, sempre più comune è infatti la figura del Travel Blogger (o, in Italiano, "Blogger di Viaggio"). Questa espressione si riferisce a quelle...
Superiori

Come risolvere un sistema di equazioni

Un argomento che viene sicuramente affrontato dopo aver svolto molte equazioni è quello del sistema di equazioni. Il sistema mette in relazione, grazie ad una parentesi graffra, due o più equazioni tra loro. Risolvere questo genere di esercizio di matematica...
Superiori

Come risolvere un sistema di primo grado col metodo di sostituzione

La matematica è sicuramente una delle materie più complesse da studiare, poiché oltre ad imparare tutta la teoria e le varie formule, dovremo poi essere in grado di applicare tutto quello che abbiamo studiato nello svolgimento di esercizi più o meno...
Superiori

Come risolvere i sistemi lineari di due equazioni a due incognite

La matematica rappresenta indubbiamente una materia molto complessa che non tutti riescono a capire. Tuttavia ciò non è impossibile: basta infatti seguire solamente alcuni fondamentali accorgimenti per poterci riuscire. Nella seguente guida pertanto...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.