Come risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Per risolvere il sistema elementare introduciamo la variabile ausiliaria {\displaystyle t} e scriviamo l'equazione {\displaystyle t^{2}-st+p}. Le due soluzioni {\displaystyle t_{1}} e {\displaystyle t_{2}} sono le soluzioni del sistema. Possiamo utilizzare piccoli accorgimenti attraverso le Formule di Waringper rendere gli altri sistemi uguali a quello elementare.{\displaystyle 1)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy}, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=(S^{2}-A)/2\\x+y=S\end{matrix}}\right.}In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.{\displaystyle 2)\left\{{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=A\\x+y=S\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy (x+y)}, calcoliamo e sostituiamo ottenendo il seguente sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=(S^{3}-A)/3s\\x+y=S\end{matrix}}\right.}In cui compaiono solo somma e prodotto per cui si procede nello stesso modo di un sistema elementare.{\displaystyle 3)\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=A\\xy=P\end{matrix}}\right.}Sapendo che {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy}otteniamo il sistema{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=P\\(x+y)^{2}=A+2P\end{matrix}}\right.}Se {\displaystyle a+2p<0} non ci sono soluzioni reali. Se {\displaystyle a+2p\geq 0} esiste le radice reale. Le soluzioni saranno date dall'unione di due sistemi elementari:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xy=P\\x+y={\sqrt {A+2P}}\end{matrix}}\right.}e.


Come risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado.

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Fffc

Prima di riuscire a risolvere i sistemi simmetrici di secondo grado è importante comprendere cosa intendiamo per sistemi simmetrici.
Un sistema si dice simmetrico quando scambiando tra loro le due incognite, ovvero sostituendo la x alla y e la y alla x le equazioni del sistema non variano.

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Fcc

Esistono diversi tipi di sistemi simmetrici. Il sistema simmetrico più semplice è detto elementare e presenta due equazioni:

{x+y= S
xy= P

Essendo S e P due numeri reali.


Esistono inoltre sistemi di grado superiore che presentano le seguenti formule.

1) {x^2 + y^2 = A
x + y = S

2) {x^3 + y^3 = A
x + y = S

3) {x^2 + y^2 = A
xy= P.

Continua la lettura
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Cfc

Chiameremo sistema simmetrico elementare un sistema in cui abbiamo un'equazione con la somma delle incognite e l'altra equazione con il loro prodotto:
x + y = 5
xy = 6

in pratica equivale a risolvere il problema gia' visto di trovare due numeri di cui conosciamo la somma ed il prodotto; cioè bastera' risolvere un'equazione di secondo grado in z del tipo
z2 - sz + p = 0
con s somma delle incognite e p prodotto delle incogniteVediamo un esempio; risolvere il sistema:
x + y = 5
x y = 6

considero l'equazione

z2 - sz + p = 0
con
s = x + y = 5
p = x · y = 6
Otteniamo l'equazione
z2 - 5z + 6 = 0
per trovare x ed y risolviamo l'equazione
applico la formula risolutiva
-b b2 - 4acz1,2 = 2aabbiamo:
a = 1
b = -5
c = 6
sostituiamo nella formula

-(-5) (-5)2 - 4(1)(6) z1,2 = =2(1)
facciamo i calcoli dentro radice

5 25 - 24= =2

5 1= =2

.

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