Come risolvere i sistemi lineari con parametro

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Per sistema di equazioni si intende un sistema di due o più equazioni per le quali cerchiamo delle soluzioni comuni. Per indicare il sistema si incolonnano le varie equazioni e si raccordano con l'utilizzo di una parentesi graffa. Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Quando ogni equazione del sistema è di primo grado rispetto a ciascuna delle variabili, si dice che il sistema è lineare. Nella seguente guida vedremo nello specifico come fare per risolvere i sistemi lineari, e nello specifico quelli lineari con parametro.

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Occorrente

  • Conoscenza dei sistemi lineari
  • Conoscenza del teorema di Gauss
  • Conoscenza del teorema di Rouché-Capelli
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Il metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è il metodo forse più semplice per la risoluzione di un sistema lineare, ma non sempre è anche quello più veloce. Prendiamo il nostro sistema costituito da due equazioni messe una sotto l'altra e racchiuse in una parentesi graffa. A questo punto dobbiamo scegliere soltanto una delle due espressioni e ricavare un'incognita. Per farlo lasciamo l'incognita che vogliamo determinare a sinistra e portiamo tutti gli altri elementi, modificandone il segno, a destra. L'importante è che sulla sinistra rimanga soltanto l' incognita (x, y, z... Ecc.) senza nessun numero!!! La sostituzione avviene appunto sostituendo nella seconda equazione, che non abbiamo ancora considerato, ciò che si trova a destra dell'equazione di cui abbiamo trovato l'incognita. Ad esempio se abbiamo ricavato che x=3y+2, il 3y+2 dovrà essere sostituito al posto della x della seconda equazione; in questo modo avremmo eliminato l'incognita x e potremmo ricavare l'incognita y. Trovate entrambe le incognite sarà facile risolvere il sistema. Trovata la y, infatti dovremmo utilizzare il risultato di y ed inserirlo nella prima equazione, in questo modo possiamo trovare anche il valore di x. Conoscendo i due valori, x e y, il sistema è risolto.

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Il metodo di riduzione

Un secondo metodo per la risoluzione del sistema lineare, anch'esso molto semplice, è il metodo di riduzione. Partiamo anche in questo caso dal nostro sistema composto da due equazioni di primo grado. Il metodo di riduzione prevede di sommare i valori delle due equazioni come se si trattasse di una somma. Ad esempio se la prima equazione è x+2y=4 e la seconda è 2x-2y=-2, con la somma otterremmo che 3x+0(2y-2y)=2 e quindi potremmo calcolare direttamente il valore di x. Per trovare la y, sostituiamo il valore di x in qualsiasi delle due equazioni e il sistema sarà risolto. Come vedete questo metodo è molto più veloce e richiede molti meno passaggi. Ovviamente nell'esempio fatto la y si eliminava automaticamente, se però vi trovate di fronte ad equazioni che non vi eliminano, attraverso la somma, una delle due incognite, potete moltiplicare una delle due equazioni per una costante che scegliete voi. Questa costante, come ho già detto, deve essere in grado di eliminare con la somma una delle due incognite.

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Il Teorema di Rouché-Capelli

Partendo da un sistema con m equazioni ed n incognite possiamo associare la matrice dei coefficienti (A) e la matrice completa, che non è altro che la matrice dei coefficienti a cui viene aggiunta la colonna dei termini noti. Il teorema ci dice che ci sono tre possibilità: il sistema può avere una sola soluzione se e solo se il rango della matrice completa e il rango della matrice coefficienti sono uguali tra loro e uguali al numero delle incognite che compaiono nelle equazioni del sistema. La seconda possibilità è invece che il sistema abbia infinite soluzioni e questo accade se è solo il rango della matrice dei coefficienti ed il rango della matrice completa sono uguali tra loro e uguali ad un certo numero r più piccolo rispetto al numero delle incognite che compaiono nel sistema. Ed infine il sistema non ammette soluzioni se è solo se il rango della matrice dei coefficienti non è uguale alla matrice completa. Questo teorema è molto importante dal punto di vista teorico, ma non ci consente concretamente di trovare le soluzioni. Per fare questo dovremmo procedere con l'algoritmo di Gauss.

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I sistemi prametrici

Nei sistemi con parametro, oltre alle incognite x e y, dovrete ricercare per quali valori di k (parametro) il sistema ammette soluzioni. Dunque avrete una nuova incognita. Per risolvere questo sistema bisogna costruire la matrice completa associata al sistema; tramite il teorema di Gauss, poi, bisogna trasformare questa matrice in una matrice che sia a scala. La nuova matrice ottenuta avrà lo stesso rango di quella di partenza. Arrivati a questo punto bisogna vedere cosa succede al variare di k. Provate a sostituire diversi valori a k e vedete cosa si ottiene, per quali valori di k il sistema ammette soluzioni e per quali valori il sistema non ammette soluzioni, per quali valori il sistema ha infinite soluzioni.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • È necessario comprendere i teoremi prima di poter risolvere gli esercizi
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