Come risolvere i rapporti trigonometrici

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I rapporti trigonometriche possono essere utilizzati non solo per trovare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo, ma anche per trovare la misura dei relativi angoli. I passi sono gli stessi di quelli che utilizziamo per risolvere un lato, ma il processo apparirà leggermente diverso. Per svolgere e semplificare queste operazioni, è possibile servirsi di una calcolatrice scientifica. Vediamo allora come risolvere i rapporti trigonometrici.

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Il seno e il coseno sono funzioni periodiche, di periodo T=2kπ con k intero. I grafici di queste due funzioni si chiamano rispettivamente sinusoide e cosinusoide. I valori di seno e coseno vengono calcolati in funzione di angoli, misurati in gradi. Ci sono degli angoli importanti in cui è bene conoscere i valori delle due funzioni in modo da agevolare i calcoli successivi.

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Gli angoli da ricordare sono 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Cominciamo ad esaminare la funzione seno in corrispondenza di tali angoli. Come si può osservare dalla tabella il seno assume un valore nullo per 0° e un valore unitario per 90°. Possiamo quindi dedurre che tale funzione ha 1 come valore massimo. Il coseno invece si comporta in 0° e 90° in modo "opposto" al seno, acquistando per tali angoli rispettivamente i valori 1 e 0.

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Nel risolvere un triangolo rettangolo ci si potrebbe trovare in uno dei seguenti 4 casi: si conoscono due angoli e un lato; si conoscono tutti e tre i lati; si conoscono due lati e l'angolo compreso fra loro; si conoscono due lati e un angolo opposto ad uno di essi. Esistono alcuni teoremi utili nella risoluzione dei triangoli rettangoli.

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Il 1° teorema afferma che in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell' ipotenusa per il seno dell' angolo opposto oppure per il coseno dell'angolo adiacente. Il 2° teorema afferma che in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell' altro cateto per la tangente dell' angolo opposto al primo o per la cotangente dell' angolo adiacente. La tangente e la cotangente sono funzioni derivate dalle funzioni seno e coseno. La tangente è data dal rapporto fra seno e coseno mentre la cotangente è data dal rapporto fra coseno e seno.

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Poiché i rapporti di seno e coseno comportano la divisione tra uno dei due lati e l'ipotenusa, i valori saranno mai maggiori di 1; questo perché un numero diviso per un altro numero più grande è sempre inferiore a 1. Di conseguenza, tutti i triangoli opposti e adiacenti possono avere valori molto diversi. Questo indica che il rapporto della tangente può avere valori molto grandi e molto piccoli, a seconda delle dimensioni del triangolo.

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