Come risolvere i problemi di massimo e minimo con le derivate

Se dovete risolvere problemi relativi alle derivate, riguardanti il massimo e minimo di una funzione, questo tutorial vi aiuterà nell’intento. Il concetto è abbastanza macchinoso, ma con l’adeguata applicazione e il giusto apprendimento delle nozioni di base, la soluzione sarà più semplice di ciò che crediate. Ricordate che, nel campo dell’analisi matematica, si definisce derivata quella grandezza puntuale che misura come e quando il risultato di una funzione f vari al mutare di x. Con il concetto di massimo e minimo, quindi, si intende il valore estremo (positivo o negativo) che x può assumere nel dominio. Ecco come fare.

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La derivata aiuta tantissimo nel andamento di una funzione, infatti quando la derivata sarà positiva, la funzione sarà crescente, invece quando la derivata sarà negativa decresce, proprio per questo nel punto in cui è la derivata si annulla, cioè quella in cui è uguale a zero, quel punto sarà di massimo o minimo relativo, poiché la derivata passa da essere positiva a negativa o l'inverso, quindi la funzione da crescente a decrescente o l'incontrario. Quindi in definitiva un punto di massimo o minimo relativo lo si avrà(salvo eccezione in cui ad esempio il punto in questione sarà all'estremo della funzione), quando la derivata della funzione in questione si annullerà cioè sarà uguale a 0, il massimo sarà assoluto quando sarà il maggiore tra i massimi relativi, di conseguenza sarà minimo assoluto quello che sarà il minore tra i minimi relativi.

Ecco un esempio pratico di calcolo: supponete di dover trovare, nell’intervallo -4< y<4, il punto di massimo e di minimo della seguente funzione:
x = 2y³ + 3 y² - 12 y
Calcolatene la derivata e imponete il valore di x’=0
x’=6y² + 6y -12
6y² + 6y -12 = 0
Semplicizzate il tutto, dividendo per 6:
y² + y – 2 = 0
Applicando la formula dell’equazione di II grado, otterrete i seguenti valori, che possono essere presi in considerazione perché compresi tra – 4 e +4:
y1 = (-1 + 3) / 2 =
y1 = 2 / 2 = 1

y2 = (-1 -3) / 2 =
y2 = -4 / 2 = - 2.

Non vi rimane che riprendere la funzione x = 2y³ + 3 y² - 12 y e sostituire a y rispettivamente i valori – 4, - 2, 1 e +4, così da ottenere i seguenti risultati:
1) x (-4) = 2 (-4) ³ + 3 (-4) ² - 12 (-4) = -32
2) x (-2) = 2 (-2) ³ + 3 (-2) ² - 12 (-2) = 20
3) x (1) = 2 (1) ³ + 3 (1) ² - 12 •1 = -7
4) x (4) = 2 (4) ³ + 3 (4) ² - 12 • 4 = 128
Il risultato più basso (-32) corrisponde al minimo della derivata, mentre quello più elevato (128) è il suo punto massimo, considerato l’intervallo di – 4 e + 4.
Avrete notato che, avendo chiari determinati concetti, la risoluzione al problema non è poi così complicata: vedrete che, applicandovi costantemente, otterrete sicuramente dei risultati ottimali.

Vi sia chiaro che il massimo ed il minimo di una derivata possono trovarsi o in un punto relativo del dominio, o ai suoi estremi. Nel primo caso, dovete sempre considerare due opzioni: che la derivata non esiste, oppure che esiste e, conseguentemente, si deve annullare.
Questo concetto deriva dal teorema di Fermat, che enuncia che l’annullamento della derivata di f, in un punto x0, è assolutamente necessaria affinché lo stesso x0 diventi punto minimo (o massimo) della funzione stessa.
Potete, quindi, concludere che il massimo o minimo di una derivata possono sempre trovarsi:
a) in un punto in cui si annulla la derivata
b) in un punto in cui non esiste derivata
c) agli estremi del dominio
Questi concetti sono fondamentali per la risoluzione del problema, quindi vi consigliamo di tenerli bene in mente.

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