Come risolvere i problemi col parallelogramma

Il parallelogramma è la figura piana a quattro lati più generale possibile. È una figura tra le più semplici e tra le prime, dopo il quadrato, ad essere studiata nella geometria piana. È formata da lati paralleli tra loro a due a due, mentre gli angoli opposti sono di egual ampiezza. A seconda dei casi, questa figura può degenerare in un quadrato, in un rombo, in un romboide o in un rettangolo. Dipende da come viene disegnata e dalle direttive che si hanno in un eventuale problema da risolvere. A seconda che si tratti delle figure precedentemente elencate, esistono vari metodi per risolvere gli esercizi e i problemi. Ogni risoluzione molto spesso rappresenta un rompicapo, ma per vostra fortuna oggi cercheremo di chiarire come fare. Vediamo quindi come risolvere i problemi col parallelogramma.

• Libro di geometria, calcolatrice, carta, penna

Di solito, quando si risolve un problema col parallelogramma, e le figure piane in generale, la prima cosa che viene richiesta è di calcolare il perimetro sulla base di alcuni dati che ci vengono forniti. Generalmente l'esercizio ci dà uno dei due lati e qualcos'altro, o entrambi nel caso più facile, e ci chiede di trovare il perimetro della figura. Nel caso del parallelogramma, per poterlo calcolare, data la lunghezza dei due lati, dovremo applicare la seguente formula (che possiamo scrivere in due modi): lato+lato+lato+lato oppure (latox2)+(latox2). Ipotizzando, ad esempio, che uno misuri 7 cm e l'altro 12 cm possiamo immediatamente dire che il perimetro è 38 cm. Ciò che abbiamo fatto è stato moltiplicare sia 7 che 12 per 2 (in quanto i lati del parallelogramma sono uguali a due a due) e poi farne la somma, quindi: (7x2) + (12x2) = 14 + 24 = 38.Questo vale per qualsiasi tipo di parallelogramma. L'unica eccezione è il quadrato che non è altro che un parallelogramma con i lati tutti uguali. In questo caso li perimetro sarà semplicemente dato dalla misura del lato moltiplicata per 4 (latox4) oppure sempre dalla somma di tutti i lati.

Consideriamo un parallelogramma rettangolo. Immaginiamo di dover trovare la lunghezza di un singolo lato. Questo andrà fatto sapendo che il perimetro della nostra figura geometrica è uguale a 38 cm e uno dei lati è lungo 7 cm. Siccome i lati opposti del parallelogramma sono congruenti, le misure dei quattro lati sono 7 cm, X cm, 7 cm, e X cm, dove X è la lunghezza incognita del lato da calcolare. Ricordate quanto detto prima, ovvero che il perimetro di un parallelogramma è la somma delle misure di tutti i suoi lati. Pertanto, quello che dovremo fare sarà sommare le lunghezze di tutti i lati, ottenendo la seguente regola: X + 7 + 7 + X = 32. Semplificando questa equazione, otterremo: 2X + 14 = 38, che altro non significa 2X = 38 - 14; 2x = 24, x = 12, dove 12 è da considerare come la lunghezza in centimetri del lato incognita del nostro parallelogramma.Ovviamente, in un libro di geometria delle elementari o dei primi anni delle medie, non troverete la spiegazione di come si arriva a calcolare l'incognita tramite equazione, ma verrà solo spiegato che il lato, in questo caso, si calcola così: P - (latox2) = (latox2). In questo modo, trovate la misura della somma dei due lati mancanti, quindi se volete trovare la misura di un solo lato, vi basterà dividere il risultato per 2 (lato/2).Per gli studenti delle medie.Nel caso si voglia calcolare la diagonale del parallelogramma, il procedimento sarà il seguente. Avendo studiato il Teorema di Pitagora, la diagonale (d) del parallelogramma non sarà altro che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e i cateti saranno i due lati della figura. Quindi dovrete applicare il Teorema i^2 = c^2 + C^2 sapendo che i = d e che c e C sono i due lati.

Troviamo adesso le misure dei lati del parallelogramma, sapendo che il suo perimetro è di 48 cm, mentre uno dei lati maggiori è due volte più lungo del lato minore. Quello che dovremo fare, sarà cercare di capire a quale misura corrisponde la lunghezza del lato maggiore. Innanzitutto, poiché i lati opposti del parallelogramma sono congruenti, le misure dei quattro lati saranno: X cm, 2X cm, X cm, 2X cm. Adesso, tenendo a mente che il perimetro del parallelogramma è uguale alla somma delle misure di tutti i lati dello stesso, andremo ad aggiungere le lunghezze di tutti e quattro i lati, ottenendo la seguente equazione X + 2X + X + 2X = 48. Semplificando questa regola, otterremo 4X = 48, X = 8, dove il lato più corto del parallelogramma misura 8 cm, mentre il lato più lungo è pari a 2 * 8 cm, vale a dire: 16 cm.

Altra richiesta molto frequente nei problemi, è quella di trovare l'area del parallelogramma.A seconda del tipo di figura, ci sono diverse formule per poterla calcolare direttamente avendo tutti i dati necessari.Vediamo quali sono tutte le formule a seconda della figura che abbiamo davanti.- Nel caso del quadrato l'area sarà A = lato^2. - Nel caso del rettangolo avremo A = base x altezza. (Tenete a mente che se si tratta di un parallelogramma non rettangolo, ma con due lati paralleli obliqui, l'altezza non sarà uguale al lato, ma sarà la perpendicolare alla base, quindi dovrete calcolarla usando il Teorema di Pitagora, nella maggior parte dei casi).- Nel caso si tratti di un rombo A = (d x D) / 2. (d corrisponde alla diagonale minore e D alla diagonale maggiore).
Esempio: supponiamo di avere un rettangolo con lati 4 cm e 6 cm. Il problema ci chiede di calcolare l'area della figura. Quello che dovremo fare sarà semplicemente moltiplicare 4 x 6. Quindi A = 4 x 6 = 24cm^2 e il nostro problema sarà concluso se la richiesta è solo quella appena risolta.
Ricordate che per poter risolvere facilmente i problemi di questo tipo e di altri tipi, è fondamentale sapere bene le formule e leggere bene il testo del problema perché lì sono già contenute le indicazioni che vi guideranno nella risoluzione. Il resto viene con tanta pratica, pazienza e divertimento. Pensate di dover capire un indovinello e buona risoluzione!

• Continuate ad esercitarvi finché non padroneggiate l'argomento. Risolvere molti problemi e leggere vari esempi aiuta a capire meglio dove si sbaglia e come migliorare.

• Teoremi sui parallelogrammi
• Il parallelogramma - formule

• Come trovare il perimetro del parallelogramma
• Come calcolare la diagonale di un parallelogramma