Come risolvere i logaritmi

A volte quando si devono risolvere dei logaritmi si getta la spugna alle prime difficoltà che si incontrano. Infatti, in matematica la risoluzione dei logaritmi non è sempre facile. La lettura di questo tutorial aiuta nella comprensione dell'idea di logaritmo; inoltre, vengono mostrate alcune regole delle proprietà principali. Queste ultime danno la possibilità di far comprendere come è possibile risolvere i logaritmi.

• carta e penna
• buona volontà
• impegno

Per capirsi viene utilizzato il linguaggio c=log_b (a) per intendere "logaritmo in base b di a = c". Adesso bisogna soffermarsi un momento sul concetto di logaritmo. Cosa si intende quando viene scritto log_b (a)=c? La scrittura indica che c è il numero da utilizzare come esponente per b affinché si possa avere a come risultato. In modo più rigoroso si ha che b^c=a; in questo caso il logaritmo è visto come la funzione inversa dell'esponenziale ed è definito per tutti i numeri reali positivi. Per meglio intendersi è opportuno fare un esempio pratico: si sa che 3^2=9. Se viene applicato quanto detto precedentemente si ha che log_3 (9) = 2. Se non si è convinti e la risposta è no bisogna rileggere e cercare di convincersi prima di continuare.

Ora bisogna esaminare le proprietà fondamentali: da a^1=a e a^0=1 otteniamo che log_a (a)=1 e log_a (1)=0. Dalla definizione segue che b^(log_b (a)) = a; dopo aver visto queste relazioni si deve focalizzare l'attenzione sulle operazioni di prodotto (*), quoziente (/) e radice k-esima (radk). Quindi vale che log_b (x*y) = log_b (x) + log_b (y) log_b (x/y) = log_b (x) - log_b (y) c*log_b (x) = log_b (x^c) log_b (radk (x)) = log_b (x^(1/k)) = 1/k * log_b (x) log (1/x) = -log_b (x).

Un aspetto importante dei logaritmi sono i tantissimi risvolti pratici, rappresentati dalle formule di cambiamento di base. Se x, k, b sono numeri positivi con b=1 (b diverso da 1) e k=1. Allora vale che log_b (x) =[ log_k (x) ] / [ log_k (b) ]log_k (b) * log_b (x) = log_k (x). Se si pone k=x utilizzando la prima delle relazioni si ottiene: log_b (x) = 1/[log_b (x)]. Adesso è opportuno provare ad applicare qualcuna di queste formule per la risoluzione degli esercizi. Per risolvere log_2 (8); si sa che 8 può essere scomposto in 8=2*2*2=2^3. Quindi log_2 (8) = log_2 (8^3) = 3.
log_9 (1/81) = log_9 (1/(9^2)) = log_9 ((1/9)^2) = -2; log_4 (8) = [log_2 (8)]/[log_2 (4)] = [log_2 (2^3)]/[log_2 (2^2)] = [3*log_2 (2)]/[2*log_2 (2)] = 3*1/2*1 = 3/2. In questo esercizio sono state utilizzate molte delle proprietà viste, compreso il cambiamento di base. Si spera che le informazioni sono state utili.

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