Come risolvere i limiti con de l'Hopital

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La regola di de l'Hopital, matematico francese del XVII secolo, se applicato nel modo giusto, ci permetterà di calcolare il limite del quoziente di funzioni reali. In questo modo potremo risolvere i limiti con relativa facilità, saltando i passaggi più complicati e velocizzando enormemente il nostro calcolo. Con questa breve guida avrai tutte le carte in regola per capire come utilizzare in maniera corretta il teorema di de l'Hopital.

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Il teorema

Prendiamo due funzioni derivabili, f (x) e g (x), con g (x) diverso da zero, e inseriamole in un rapporto di quoziente. Per poter applicare il teorema è necessario che vengano soddisfatte alcune condizioni: devono esistere limiti di destra e di sinistra del rapporto tra le derivate delle funzioni; queste ultime devono dare origine a forme indeterminate; g (x), per non rendere impossibile il quoziente, deve essere diverso da 0. Se queste condizioni vengono tutte rispettate, allora possiamo procedere con l'applicazione del teorema.

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L'applicazione della regola

Quando valgono le condizioni ricordate precedentemente, secondo il teorema di de l'Hopital è possibile affermare che il limite del rapporto tra la funzione f (x) e la funzione g (x) è uguale a limite del rapporto tra la derivata della funzione f (x) e la derivata della funzione g (x). In questo modo giungiamo a una formula generale che pone un'uguaglianza tra il rapporto delle funzioni originarie e il rapporto delle funzioni derivate, che ci darà la possibilità di calcolare il limite in maniera veloce e sicura. Ma ricordate che devono essere rispettate tutte le condizioni di esistenza perché il teorema possa essere applicato.

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Applicazione a forme indeterminate

Il teorema può essere applicato anche a forme indeterminate che verranno ricondotte facilmente alle componenti base della regola di de l'Hopital. Esempi di queste forme indeterminate sono rappresentati dagli enunciati: 1 elevato a infinito, 0 elevato 0, infinito elevato 0, oppure infinito meno infinito. Quest'ultima differenza, ad esempio, può essere riscritta come differenza tra quozienti. Come si intuisce, insomma, basta, applicare trasformazioni di logartimizzazione o derivazione per trovarsi al punto in cui sia possibile applicare il teorema e facilitare l'operazione di calcolo.

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Un corollario del teorema

Una delle conseguenze del teorema di de l'Hopital è il cosiddetto criterio di derivabilità, per cui, data una funzione derivata in a, essa è uguale a limite (per x che tende ad a) della derivata di una funzione f (x). È una conseguenza semplice ma che può tornare molto utile in alcuni calcoli che riguardano limiti e derivate.

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