Come risolvere graficamente un sistema lineare

Tramite: O2O 21/07/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Per sistema di equazioni lineari di si intende un sistema formato da n equazioni lineari in n incognite, se scelgo n=2 il sistema avrà la forma:1) a1x+b1y=c12) a2x+b2y=c2. Come risolvere graficamente un sistema lineare? Farlo significa trovare valori che soddisfino le equazioni e cioè le n soluzioni. È evidente che si tratti di equazioni di rette per cui disegnandone il grafico e valutandone l'andamento sarà possibile arrivare alla soluzione del sistema .

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Come disegnare graficamente una retta

È risaputo che per due punti passa una ed una sola retta per cui se ho due punti appartenenti ad una retta potrò disegnarla univocamente nel piano cartesiano. Passiamo direttamente ad un esempio pratico per capirci meglio. Se considero la retta di equazione 2x+5y=4 scegliendo, arbitrariamente, il valore della variabile y, ad esempio y=0 otterrò, per banale sostituzione, 2x=4 quindi x =2 ed il mio primo punto avrà coordinate A (2,0). Per il secondo punto scelgo y=2 da cui 2x+10=4 x=-7 ed il secondo punto sarà B (-7,2). Unendo i punti A e B sugli assi cartesiani otteniamo la rappresentazione della retta.
Si vuole sottolineare il fatto che la scelta duplice del valore della y è assolutamente casuale, si poteva scegliere anche una volta la x ed una la y o due volte quello della y. Ricordate che è anche buona norma assegnare alle variabili il valore zero, pari o dispari a seconda dei coefficienti presenti per semplificare i calcoli.

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Come capire cosa stà succedendo?

Mettendoci nel caso di n=2 dopo aver disegnato entrambe le rette possiamo avere tre casi:1) le rette sono incidenti, si incontrano in un punto che è proprio la soluzione del sistema;2) le due rette sono parallele, non incontrandosi mai il sistema non ha soluzione;3) le due rette sono coincidenti per cui il sistema ha infinite soluzioni e si definisce indeterminato.

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Esempio pratico

Credo che la matematica sia più facile a farsi che a dirsi per cui procediamo subito con un esempio pratico nel quale vi illustro i vari passaggi per la determinazione della soluzione. Considerando il sistema formato dalle rette 1) 2x+5y=4 2) 3x+y=6. Come prima cosa bisogna calcolare i due punti per disegnare la retta, per la 1) li abbiamo già calcolati e sono A e B, ora calcoleremo i punti C e D allo stesso modo. Se y=0 x= 2 C (2,0) se x=0 y=6 D (0,6). Siamo stati fortunati poiché avendo il punto (2,0) in comune è evidente che già possiamo escludere l'ipotesi 2. Lo step successivo è quello di disegnare graficamente le rette, ciò che si avrà è che esse sono incidenti e si incontrano in un punto di coordinate (2,0). Come verifica andando a sostituire i valori ottenuti nelle equazioni ed avremo rispettivamente le identità 4=4 e 6=6. Spero di esservi stata utile, alla prossima!

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