Come risolvere gli integrali per sostituzione

In questa guida vi spiegheremo come risolvere gli integrali per sostituzione, che essi siano definiti o indefiniti.
I metodi, descritti nei prossimi passi, vi permetteranno di determinare un integrale complesso, sostituendolo con uno più semplice, così da poterlo risolvere facilmente.
Proseguite nella lettura, non è un procedimento semplice, ma sicuramente renderà le cose un pochino più chiare, soprattutto per chi non è molto pratico sul campo degli integrali.

Per prima cosa è bene comprendere la definizione di integrale indefinito, cioè quel prodotto inverso alla funzione derivata, che come risultato darà un' altra funzione, più semplificata e risolvibile. Essedo indefinito, non darà come risultato un numero, ma una variabile.

La prima cosa da fare è cambiare la parte più scomoda della funzione, con una variabile semplificata.
Quindi in un integrale del tipo:
?cosx sin(sinx)dx andremo a modificare la variabile di sinx, creando una variabile meno complessa, atta a rendere risolvibile la funzione.
y = sin x.
Inoltre chiameremo dy la seconda variabile da sostituire nella funzione, creando la derivata di sinx : dy = cosx dx.

È arrivato il momento di riprendere l'integrale iniziale e apportare tutte le modifiche.
?siny dy.
La derivata dell'integrale sarà:
- cosy + g. Si mette una variabile subito dopo il coseno, in quanto l'integrale è indefinito, quindi non darà un valore preciso.
Al termine basta reinserire i dati precedentemente modificati, con variabili meno complesse, e il risultato sarà un integrale più semplice:
- cos (senx) + g.

Passiamo, infine, agli integrali definiti.
Questi si differenziano dai primi in quanto portano ad avere risultati precisi, numeri e non funzioni.
Il procedimento nello svolgere l'operazione è uguale agli integrali indefiniti, l'unica cosa in più da attuare, è quella di modificare e sostituire con variabili gli estremi della funzione stessa.
Per comprendere meglio prendiamo una funzione che va tra 0 e ?? di xcos(x'') dx.
La variabile da semplificare è x''.
Avremo quindi: y = x'' e la derivata dy = 2x dx.

A questo punto modifichiamo gli estremi mettendoli al posto della x nella nuova variabile.
0 = 0'' = 0
?? = (??)'' = ?
Si va, quindi, a sostituire le variabili all'interno dell'integrale definito.
? tra 0 e ? di cosy dy/2 =
1/2?tra 0 e ? di cosydy.

Arrivati a questa semplificazione, andiamo a sostituire le variabili modificate all'inizio.

1/2 (sinx) tra 0 e ? =
1/2 sin? - sin 0 = 1/2 x 0

Il risultato che otteniamo da questo procedimento è 0.

• Avere una buona conoscenza della matematica

• https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali.html