Come risolvere gli integrali indefiniti fratti

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una categoria di Integrali indefiniti che può creare qualche difficoltà di calcolo è quella degli integrali fratti. La vista di una frazione spesso spaventa gli studenti ma in questa piccola guida dimostreremo che risolvere tali integrali è molto semplice e intuitivo.
In generale escluderemo da tale guida gli integrali aventi solo una costante al denominatore in quanto, per sua natura e per quella degli integrali, tale costante potrà essere portata fuori lasciando un integrale di forma normale. Saranno esclusi anche gli integrali con una costante al numeratore e polinomio di primo grado al denominatore; in questo caso la costante verrà, di nuovo, portata fuori dall'integrale, mentre la risoluzione dell'integrale stesso risulterà essere il logaritmo naturale della funzione al denominatore. Ci occuperemo, invece, di integrali riguardanti funzioni f (x) del tipo

f (x) = N (x)/D (x)


dove sia il numeratore che il denominatore sono polinomi funzioni di x. Avremo, in generale, due casi.

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Caso 1 - Il grado di N(x) è minore del grado di D(x)

Nel primo caso il polinomio che fa da numeratore ha grado inferiore a quello che fa da denominatore. Si possono distinguere due casistiche:
1) La funzione al numeratore è di secondo grado, ma ha determinante negativo. La trattazione di questo caso risulta molto impegnativa e vi invitiamo a rifarvi al link in basso dove troverete una guida più che esaustiva.




2) La funzione al denominatore ha determinante maggiore di zero e quindi può essere risolta con il metodo dei fratti semplici, spiegato nel terzo paragrafo.

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Caso 2 - Il grado di N(x) è maggiore del grado di D(x)

Ora ci occuperemo, al contrario del paragrafo precedente, di un integrale fratto con numeratore di grado maggiore rispetto al denominatore. Si tratta di dividere il problema in problemi più semplici da risolvere. Cerchiamo di scomporre il numeratore dividendolo per il denominatore. Otterremo un quoziente Q (x) e un resto R (x). L'integrale generale assumerà la forma di una somma fra due integrale: il primo di facile risoluzione in quanto comprenderà solo Q (x), il secondo ricade nel caso 1 in quanto sarà integrale di una frazione fra R (x) e D (x) dove il primo, per come lo abbiamo costruito, ha grado inferiore al secondo.

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Metodo dei fratti semplici

In algebra, il metodo dei fratti semplici è il più comune e facile da utilizzare per scomporre in maniera rapida e precisa una frazione in più elementi. Si procede per step:- scomporre il polinomio al denominatore come prodotto notevole di polinomi di grado minore;- Assegnare ad ogni polinomio trovato nel passo precedente una costante (A, B, C, ecc);- Impostare un sistema lineare utilizzando frazioni composte dai fattori trovati al primo passo al denominatore e le costanti assegnate al numeratore;- Integrare le frazioni ottenute dove i numeratori saranno tutte costanti, quindi di facile risoluzione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il modo migliore per comprendere bene l'argomento è esercitarsi il più possibile. In basso potete trovare il link per numerosi esercizi su questa tipologia di integrali.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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