Come risolvere gli integrali fratti

Tramite: O2O 28/02/2019
Difficoltà: media
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Introduzione

Gli integrali fratti fanno parte di una numerosa famiglia di funzioni che si possono enunciare e risolvere attraverso una specifica procedura. Seguendo le indicazioni presenti nella guida, visualizzando il video annesso e attingendo altre utili notizie dal link allegato, potrete sapere come risolvere gli integrali fratti ossia una frazione algebrica il cui denominatore sia possibile scomporlo nel prodotto di binomi di primo grado.

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Occorrente
  • Libro di algebra
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Seguire dei passi ben definiti

Prima di iniziare con alcuni esempi su come risolvere gli integrali fratti, è importante sapere che ci sono quattro passi ben definiti da seguire e che tutti inseme servono per raggiungere lo scopo. Nello specifico si tratta della divisone algebrica tra il polinomio del numeratore e quello del denominatore, la cui operazione si può eseguire soltanto quando il grado del primo polinomio è superiore o uguale al secondo. Il secondo passo prevede invece la fattorizzazione del denominatore come prodotto di polinomi di grado uno, la decomposizione della frazione residua con una somma di frazioni semplici, ed infine l'integrazione separata di queste ultime grazie alla linearità dell'integrale.

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Adottare uno dei quattro modi per risolvere gli integrali fratti

A questo punto va detto che se una funzione razionale fratta presenta un rapporto di due polinomi del tipo f(x)=P(x)/Q(x), per integrarla qui di seguito ci sono quattro modi da adottare. Nel primo il numeratore è quello derivato del denominatore tramite un logaritmo. Nel secondo il numeratore è una costante mentre il denominatore è un polinomio di primo grado. Nel terzo il numeratore è una costante mentre il denominatore è un quadrato con la funzione avente una potenza del tipo n=-2. Infine nel quarto il numeratore è di primo grado, mentre il denominatore è un trinomio di secondo grado del valore algebrico ?

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Impostare il calcolo con un polinomio di primo grado

Dei quattro modi il più semplice per risolvere un integrale fratto è sicuramente quello in cui il denominatore si scompone nel prodotto di fattori di 1° elevati alla medesima potenza. Tuttavia va aggiunto che se il denominatore è irriducibile (fattorizzazione), per risolvere l'integrale fratto dovrete impostare il calcolo ponendo al numeratore un numero generico di polinomio di primo grado invece di una costante. Per esempio: \frac{1}{x^3 + x} = \frac{1}{x \cdot (1 + x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}x3+x1?=x . Se il concetto non vi appare molto chiaro, il consiglio è di leggere qualche libro di algebra e quanto riportato nel link allegato in cui troverete anche dei problemi già risolti.

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