Come risolvere gli integrali doppi con coordinate polari

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una delle difficoltà più comuni nel risolvere degli integrali doppi è il passaggio da coordinate cartesiane a polari. Quando serve questa modifica? Come si procede nei calcoli? Principalmente questa posizione ci aiuta nel momento in cui il dominio della funzione da integrare è facile da rappresentare con coordinate polari, come ad esempio circonferenze, archi e tutte quelle forme geometriche a simmetria radiale. Lo svolgimento non è più complicato degli integrali doppi classici, la difficoltà sta nel capire bene il passaggio da un sistema all'altro, scegliere gli estremi e il sistema di riferimento.

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Analisi del dominio

La prima cosa da fare, come sempre, è studiare attentamente il dominio. Quindi va considerata la funzione da integrare e va studiato il suo campo di esistenza. Nel momento in cui tale funzione è definita per un dominio di chiara simmetria radiale del tipo
D = { 3 < x^2 + y^2 < 12 }
allora si può procedere al passaggio di variabili.

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Cambiamento di variabili

In generale, in questo passaggio, la parte più difficile è capire quali sono gli estremi di integrazione da applicare agli integrali definiti. Il passaggio da coordinate cartesiane a polari in se è abbastanza intuitivo in quanto la formula è sempre la stessa. Innanzitutto si applica la posizione.
Ora si può passare ad espletare l'integrale come

A questo punto viene la parte un po' più difficile, ma non disperate, a tutto c'è una soluzione! Ritorniamo un attimo al dominio: è qui che bisogna osservare per capire gli estremi da scegliere. Per quanto riguarda ρ, essendo essa una misura di lunghezza, essi saranno per forza di cosa positivi. In generale comunque vale l'idea che per estremi si scelgano gli estremi del raggio della circonferenza, tipicamente 0 e R. Per θ, invece, sempre a seconda del sistema di riferimento si scelgono l'angolo da dove parte l'arco e l'angolo dove tale arco finisce (in radianti e non in gradi). Se, ad esempio, il dominio è una circonferenza intera allora gli estremi saranno 0 e 2π.

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Risoluzione pratica

A questo punto la risoluzione è piuttosto semplice in quanto ricalca a grandi linea quella che si utilizza per gli integrali doppi a coordinate cartesiani. Si inizia a considerare la prima variabile d'integrazione e si integra tutto rispetto ad essa, in genere si parte con dρ. Finito questo processo si passa a integrare la funzione risultante per dθ, andando a completare la sostituzione degli estremi all'interno del risultato integrato. Questo metodo di risoluzione può sembrare complicato ad uno sguardo svelto ma, nella pratica, si rivelerà molto immediato. Il consiglio è esercitarsi per molte ore con vari tipi di esempi in modo da capire come gestire diversi domini e differenti estremi di integrazione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitarsi per molte ore

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