Come risolvere gli integrali con le radici

Se dal vostro professore di matematica vi è stato assegnato un problema in cui dovete risolvere degli integrali con le radici e non sapete come procedere, il consiglio è di leggere attentamente i vari passi della presente guida. Nello specifico troverete tre esempi di alcune operazioni elementari che sono divise in tre gruppi di funzioni primitive ovvero costante, potenza e radice; esponenziali e logaritmiche ed infine funzioni goniometriche.

• Tabella delle funzioni integrali

Le funzioni primitive costante, potenza e radice del tipo y=\sqrt[n]{x}y=nx? si possono trasformare in potenze aventi un esponente frazionario e sfruttando quindi le proprietà delle potenze stesse, per cui \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}nx?=xn1?. Da ciò ne deriva che la formula fornita vale per \alpha? numero reale. A questo punto ecco un esempio pratico con un esercizio svolto.
\int \sqrt{x}\ dx= \int x^{\frac{1}{2}} \ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+c?x? dx=?x21? dx=32?x3?+c
\int \frac{1}{x^2}\ dx = \int x^{-2} \ dx = -\frac{1}{x}+c?x21? dx=?x?2 dx=?x1?+c
\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \ dx = 2\sqrt{x}+c?x?1? dx=?x?21? dx=2x?+c.

Il logaritmo è dunque la primitiva di una funzione razionale, e per comodità lo riportiamo anche in questo passo in modo che possiate tenerlo a portata di mano per le funzioni primitive esponenziali e logaritmiche. Premesso ciò, avendo quindi s logaritmo del tipo \int \frac{1}{x}\,dx=\ln{|x|}+c?x1?dx=ln?x?+ se dovete calcolare le suddette primitive di una funzione, va subito detto che aggiungere le lettere +c+c rappresentano un numero reale qualsiasi, poiché tutte le primitive di una funzione sono diverse tra loro per una costante. Per risolvere l'integrale della radice in questo caso dovete soltanto adottare i metodi di integrazione specifici, come ad esempio per parti o per sostituzione. Il consiglio in tal caso è sempre di fare degli esercizi per acquistare un po' di pratica e capire con precisione di cosa si tratta.

A questo punto per completare la nostra breve guida su come risolvere gli integrali con le radici, citiamo le funzioni primitive goniometriche del tipo:
\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin{x}+c}?1?x2?1? dx=arcsinx+c e \displaystyle{\int \frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan{x}+c}?1+x21? dx=arctanx+c . Detto ciò, il consiglio è di cliccare sul link annesso alla presente guida per avere a portata di mano la tabella riassuntiva delle varie funzioni elementari ed utilizzarla per i vostri calcoli.

• Integrali delle funzioni elementari: tabella riassuntiva