Come risolvere equazioni goniometriche

Tramite: O2O 11/08/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Le equazioni goniometriche, si possono riconoscere dall'incognita "X", che si manifesta all'interno delle funzioni trigonometriche, che come è noto, sono identificate come: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante e Cosecante. Ecco dunque qui di seguito, con metodi distinti in due parti, come risolvere le equazioni goniometriche.

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Le funzioni di tangente e cotangente

Le funzioni di tangente e cotangente, secante e cosecante possono essere espresse in termini di seno e coseno e pertanto questi presupposti potranno ricondurci alla soluzione di equazioni trigonometriche che contengono solo seno e coseno. In questi esempi di equazioni trigonometriche elementari, vedremo di rispondere alla seguente domanda: quali angoli tra 0 e 2? hanno seno uguale a 1? Tenendo conto della periodicità della funzione seno, non si può procedere, perché la funzione coseno ha valori solo nell'intervallo [-1,1], quindi questa equazione non ha soluzioni, non esistendo alcun angolo che abbia coseno uguale a 27! E proseguendo, ci chiederemo: quali angoli tra 0 e 2? hanno coseno uguale a (3)1/2/2? Guardando cosa succede sulla circonferenza goniometrica, dovremo tener conto della periodicità della funzione coseno.

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L'inversa della funzione

Applichiamo l'inversa della funzione che viene mostrata nell'esempio; calcoliamo il valore della funzione inversa solo se rientra tra quelli contenuti nella tabella dei valori notevoli delle funzioni trigonometriche, in caso contrario lasciamolo indicato come arc-funzione trigonometrica (c). Esaminiamo la "funzione trigonometrica=costante", nelle quali troveremo una sola funzione eguagliata a una costante (1) (2) (3), tenendo presente che le equazioni (1) e (2) sono da considerare solamente per valori di c compresi tra -1 e 1, sapendo che seno e coseno sono definiti soltanto in quell'intervallo. L'equazione (3) invece è valida per qualsiasi valore di x, anche se questa ha un valore infinito. Per risolvere dunque un'equazione, dovremo cercare di individuare se la x compare come argomento di una funzione. .

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Un'equazione trigonometrica

Se consideriamo un'equazione trigonometrica del tipo, potremo risolvere un caso particolare: mostrandosi come un'equazione di secondo grado, cambieremo la variabile ponendo y=sin (x). Potremo così ricondurci a un'equazione trigonometrica del tipo funzione trigonometrica uguale a costante, le cui soluzioni sono 2. La regola della sostituzione e serve per semplificare tutte le formule trigonometriche. Se avremo prodotti di seni e coseni con argomenti diversi, dovrete pensare a Werner, mentre se dovremo affrontare somme o sottrazioni, ricorreremo alle formule di prostaferesi!

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