Come risolvere equazioni e disequazioni goniometriche

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Una disuguaglianza trigonometrica contiene uno o molte funzioni trigonometriche dell'arco x variabile nella forma R [f (x), g (x) ...]> 0 (o <0), in cui f (x), g (x),... Sono le funzioni dell'arco x Trig. Risolvere per x significa trovare i valori della x dell'arco variabile le cui funzioni trigonometriche rendono la disuguaglianza o uguaglianza vera. Tutti questi valori di x costituiscono l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza e uguaglianza trigonometrica che si esprime in intervalli. I valori dell'arco x si esprimono in radianti o gradi.
Esempi di disequazioni trigonometriche: sin x + sin 2x> -sin 3x; sin x + 3x sin <1; 2tan x e 2x> 3cot x; cos 2x -2> -3sin x.
Esempi di equazioni: sin x + sin 2x= -sin 3x; sin x + 3x sin =1; 2tan x e 2x= 3cot x; cos 2x -2= -3sin x.
Ecco quindi come risolvere le equazioni e le disequazioni goniometriche.

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Trasformare le equazioni e disequazioni trigoniometriche

Risolvere le equazioni e disequazioni trigonometriche si traduce nel risolvere le equazioni e disequazioni trigonometriche di base. Il processo di trasformazione procede esattamente come nella risoluzione delle equazioni trigonometriche. Il periodo comune di una disequazione è il minimo comune multiplo di tutti i periodi delle funzioni trigonometriche presentati nella equazione. Ad esempio: sin 2x x + sin + cos x / 2 <1 è 4Pi come periodo comune. Oppure: tan x + lettino x/2 ha 2Pi come nel periodo comune. L'insieme delle soluzioni di una disequazione si deve risolvere, almeno entro un intero periodo comune.

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Alcuni esempi

Per risolvere le disequazioni ed equazioni trigonometriche di base bisogna procedere così. Studiando le varie posizioni dell'arco x variabile che ruota sul cerchio unitario trigonometrico. Questo utilizzando le tabelle trigonometriche o i calcolatori. Esempio 1: sin x> 0,709. Soluzione: l'insieme della soluzione si dà dal cerchio unitario trig e dalla Tabella in cui è presente Pi/4+2kPi.
Esempio 2: xtan<0,414. Soluzione: la soluzione si dà dalla tabella sulla circonferenza unitaria che prevede -pi/2+kPi.

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Tabella di risoluzione

Questi valori consecutivi di x creano vari intervalli tra loro. In primo luogo, capite la variazione di f (x)=2xsin sulla seconda linea della tabella. Questo procede considerando le varie posizioni dell'arco x che ruota sul cerchio unitario trigonometrico. Per esempio, se x è nel primo quadrante, l'arco 2x è nel secondo quadrante e il segno di 2x sarà positivo. Marcate quindi gli intervalli con segni + e - in base alla variazione di f (x). Successivamente, figurate la variazione di g (x)=cosx-1/2 nella terza riga della tabella del segno. Risolvete e segnate gli intervalli con segno + o - come nell'espressione sopra descritta. La linea inferiore rappresenta la variazione della [x]R, con + e - i segni che si combinano nel prodotto R[x]=f (x).

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